Как вычислить частную производную
- Частные производные и полный дифференциал функции
- Нахождение полного дифференциала функции
- Принципы определения производной
- Пример нахождения частных производных
- Использование частных производных
- Нахождение частных производных более высоких порядков
- Заключение
Частные производные и полный дифференциал функции
Частные производные являются основными составляющими полного дифференциала функции. Каждый аргумент рассматривается отдельно, с предположением, что остальные аргументы являются константами.
Нахождение полного дифференциала функции
Для нахождения полного дифференциала функции с несколькими переменными необходимо вычислить частные производные по каждой из них. Методы решения аналогичны нахождению производной функции одного аргумента, за исключением того, что в качестве постоянных слагаемых или множителей могут выступать другие переменные.
Принципы определения производной
Принципы определения производной базируются на дифференцировании простейших и тригонометрических функций. Например, производная функции с переменной в степени определяется по формуле Лейбница.
Пример нахождения частных производных
Рассмотрим пример функции f = 2•х•у² + 5•y•z^5 + 3•x²•√z. Чтобы найти частную производную по х, каждое из слагаемых представим в виде функции от х. В данном случае элементы 2•у², 5•y•z^5 и 3•√z будут постоянными величинами.
При определении частной производной по y примем за постоянные выражения 2•x, 5•z^5 и 3•x²•√z. Частная производная по аргументу z предполагает объявление константами множители 5•y, 3•x² и слагаемое 2•x•y².
Использование частных производных
Частные производные широко используются при решении дифференциальных уравнений. Запись ∂f/∂x воспринимается как единое обозначение и не является отношением приращения функции и аргумента. Результаты примера можно записать в виде полного дифференциала функции.
Нахождение частных производных более высоких порядков
Для нахождения частных производных более высоких порядков необходимо продифференцировать функцию соответствующее количество раз. Например, полный дифференциал второго порядка будет содержать в себе дифференциалы второго порядка по каждому аргументу.
Заключение
Частные производные являются важным инструментом в математическом анализе. Они позволяют находить полный дифференциал функции и использовать его при решении дифференциальных уравнений. При изучении функций с несколькими переменными, знание частных производных становится необходимым.
