Как вычислить дисперсию и математическое ожидание
- Математическое ожидание через интегральную сумму числового ряда
- Дисперсия: оценка разброса случайной величины
Основные характеристики случайного события: дисперсия и математическое ожидание
Дисперсия и математическое ожидание являются основными характеристиками случайного события при построении вероятностной модели. Эти величины связаны между собой и в совокупности представляют основу для статистического анализа выборки.
Математическое ожидание: среднее ожидаемое значение случайной величины
Математическое ожидание случайной величины представляет собой ее среднее ожидаемое значение. Также эту характеристику называют центром распределения вероятностей и находят путем интегрирования по формуле Лебега-Стильтьеса: m = ∫xdf(x), где f(x) – функция распределения, значениями которой являются вероятности элементов множества x ∈ X.
Математическое ожидание через интегральную сумму числового ряда
Исходя из начального определения интеграла функции, математическое ожидание можно представить в виде интегральной суммы числового ряда, члены которого состоят из пар элементов множеств значений случайной величины и ее вероятностей в этих точках. Пары связаны операцией умножения: m = Σxi•pi, интервал суммирования составляет i от 1 до ∞.
Вычисление математического ожидания для дискретной и целочисленной величины
Приведенная формула является следствием из интеграла Лебега-Стильтьеса для случая, когда анализируемая величина X дискретная. Если же она целочисленная, то вычислить математическое ожидание можно через производящую функцию последовательности, которая равна первой производной функции распределения вероятностей при x=1: m = f’(x) = Σk•p_k при 1 ≤ k.
Дисперсия: оценка разброса случайной величины
Дисперсия случайной величины используется для оценки среднего значения квадрата ее отклонения от математического ожидания, а точнее - ее разброса вокруг центра распределения. Таким образом, эти две величины оказываются связанными формулой: d = (x - m)². Подставив в нее уже известное представление математического ожидания в виде интегральной суммы, можно вычислить дисперсию следующим образом: d = Σpi•(xi - m)².
