диагонали/em/b" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images">Прямоугольные четырехугольники (прямоугольник, квадрат) диагональ делит на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых она будет гипотенузой. Следовательно, для ее вычисления возможно применение теоремы Пифагора. a²=b²+c², где a - гипотенуза, b и с - катеты.Пример 1: найдите диагональ AC , если известно, что длина BC=3 см, AB=5 см.Решение: вычислите гипотенузу AC в прямоугольном треугольнике ABC. AC²=AB²+BC²; AC²=5²+3²=34; из полученного значения извлеките квадратный корень: AC=√34=5,8 см.Ответ: диагональ прямоугольника равна 5,8 см.
Если перед вами квадрат, то вычислить диагональ можно, зная одну из его сторон или площадь. Т.к. все стороны квадрата равны, то теорема Пифагора для него будет иметь вид: a²=b²+b², a²=2b². Площадь - произведение двух сторон (S=b²). Значит, квадрат гипотенузы (в фигуре квадрат) равен его удвоенной площади (a²=2S).Пример 2: площадь квадрата 16 см². Найдите длину . Решение: вычислите длинуа через площадь. a²=2S, a²=2*16 см²=32; извлеките корень квадратный: a=√32≈5,7 см.Ответ: длинаквадрата – 5,7 см.
В некоторых случаях для вычислениянеобходимо делать дополнительные построения.Пример 3: равносторонний многоугольник со стороной, равной 6 см, угол BCD прямой. Найдите длинуAB.Решение: соедините точки B и D. Получился прямоугольный треугольник BCD, в котором сторона BD является гипотенузой. Вычислите гипотенузу BD: BD²=BC+CD²; BD²=6²+6²=72; Гипотенуза BD из треугольника BCD является катетом в треугольнике ABD. А диагональ AB - гипотенуза в нем.Вычислите диагональ AB: AB²=BD²+AD²=72+36=108; AB=√108=10,4 см.Ответ: длинаAB=10,4 см.
Диагональ куба можно найти через диагональ одной из его граней.Пример 4: куб со стороной 5 см. Найдите диагональ куба.Решение: достройте и вычислите диагональ грани куба. AC²=5²+5²=50. Диагональ AC перпендикулярна ребру CB, следовательно, угол ACB – прямой. Диагональ куба AB – гипотенуза в треугольнике ACB. Найдите длинукуба: AB²=AC²+CB²=50+25=75; извлеките квадратный корень. AB=√75=8,7 см.Ответ: длинакуба – 8,7 см.
Для вычисления диагоналей параллелограмма используют теорему косинусов: c²=a²+b²-2ab*cosγ.Пример 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120°. Найдите диагональ с.Решение: подставьте значения в формулу. c²= 2²+3²-2*2*3*cos120°; cos120° найдите по таблице косинусов (-0,5). с² = 4+9-12*(-0,5)=13-(-6)=19. Из этого значения извлеките корень: с = √19 = 4,35 см.Ответ: длинас = 4,35 см.
