Как вычислить функцию и построить график
- Как вычислить функцию и построить график: шаг за шагом
- Шаг 1: Поиск области определения
- Шаг 2: Область определения
- Шаг 3: Вертикальные асимптоты
- Шаг 4: Четность/нечетность
- Шаг 5: Возрастание/убывание, точки экстремума
- Шаг 6: Точки экстремума
- Шаг 7: Выпуклость/вогнутость, точки перегиба
- Шаг 8: Наклонные асимптоты
- Шаг 9: Вычисление в промежуточных точках
- Шаг 10: Построение графика
Как вычислить функцию и построить график: шаг за шагом
Понятие «функция» относится к математическому анализу, но имеет более широкое применение. Чтобы вычислить функцию и построить график, нужно исследовать ее поведение, найти критические точки, асимптоты и проанализировать выпуклости и вогнутости. Но, конечно, первым шагом является поиск области определения.
Шаг 1: Поиск области определения
Для того чтобы вычислить функцию и построить график, нужно выполнить следующие действия: найти область определения, проанализировать поведение функции на границах этой области (вертикальные асимптоты), исследовать на четность, определить промежутки выпуклости и вогнутости, выявить наклонные асимптоты и рассчитать промежуточные значения.
Шаг 2: Область определения
Первоначально предполагается, что ею является бесконечный интервал, затем на него накладываются ограничения. Если в выражении функции встречаются следующие подфункции, решите соответствующие неравенства. Их совокупный результат и будет областью определения:
- Корень четной степени от Φ с показателем в виде дроби с четным знаменателем. Выражение, стоящее под его знаком, может быть только положительным или нулем: Φ ≥ 0;
- Логарифмическое выражение вида log_b Φ → Φ> 0;
- Две тригонометрические функции тангенс и котангенс. Их аргумент – мера угла, которая не может быть равной π•k + π/2, иначе функция не имеет смысла. Итак, Φ ≠ π•k + π/2;
- Арксинус и арккосинус, которые имеют строгую область определения -1 ≤ Φ ≤ 1;
- Степенная функция, показатель которой – другая функция: Φ^f → Φ > 0;
- Дробь, образованная отношением двух функций Φ1/Φ2. Очевидно, что Φ2 ≠ 0.
Шаг 3: Вертикальные асимптоты
Если они есть, то располагаются на границах области определения. Чтобы это выяснить, решите односторонние пределы при х → A-0 и х → В+0, где х – аргумент функции (абсцисса графика), А и В – начало и конец интервала области определения. Если таких интервалов несколько, исследуйте все их граничные значения.
Шаг 4: Четность/нечетность
Подставьте в выражение функции аргумент (-х) вместо х. Если результат не изменится, т.е. Φ(-х) = Φ(х), то она четная, если же Φ(-х) = -Φ(х), – нечетная. Это необходимо для того, чтобы выявить наличие симметрии графика относительно оси ординат (четность) или начала координат (нечетность).
Шаг 5: Возрастание/убывание, точки экстремума
Вычислите производную функции и решите два неравенства Φ’(х) ≥ 0 и Φ’(х) ≤ 0. В результате вы получите промежутки возрастания/убывания функции. Если в какой-то точке производная обращается в ноль, то она называется критической. Возможно, она также является точкой перегиба, выясните это в следующем действии.
Шаг 6: Точки экстремума
В любом случае это точка экстремума, в которой происходит перелом, смена одного состояния на другое. Например, если убывающая функция становится возрастающей, то это точка минимума, если наоборот – максимума. Обратите внимание, что производная может иметь свою область определения, более строгую.
Шаг 7: Выпуклость/вогнутость, точки перегиба
Найдите вторую производную и решите аналогичные неравенства Φ’’(х) ≥ 0 и Φ’’(х) ≤ 0. На этот раз результатами будут интервалы выпуклости и вогнутости графика. Точки, в которых вторая производная равна нулю, являются стационарными и могут быть точками перегиба. Проверьте, как ведет себя функция Φ’’ до и после них. Если меняет знак, значит, это точка перегиба. Кроме того, проверьте на это свойство критические точки, определенные в предыдущем действии.
Шаг 8: Наклонные асимптоты
Асимптоты – большие помощники при построении графика. Это прямые линии, к которым приближается бесконечная ветвь кривой функции. Они задаются уравнением у = k•х + b, где коэффициент k равен пределу lim Φ/х при х→ ∞, а слагаемое b – такому же пределу выражения (Φ – k•х). При k=0 асимптота проходит горизонтально.
Шаг 9: Вычисление в промежуточных точках
Это вспомогательное действие, чтобы добиться большей точности построения. Подставьте несколько любых значений из области определения в функцию.
Шаг 10: Построение графика
Начертите асимптоты, нанесите экстремумы, отметьте точки перегибов и промежуточные точки. Схематично покажите промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, например, знаками «+», «-» или стрелками. Проведите линии графика по всем точкам, приблизьте к асимптотам, изгибая в соответствии со стрелками или знаками. Проверьте симметрию, выявленную на третьем шаге.
