Главная Войти О сайте

Как вычислить интеграл функции

Интегральное исчисление является частью математического анализа, основные понятия которого – первообразная функция и интеграл, его свойства и методы вычисления. Геометрический смысл этих расчетов – нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной пределами интегрирования.Как вычислить интеграл функции

Как правило, вычисление интеграла сводится к тому, чтобы привести подынтегральное выражение к табличному виду. Существует множество табличных интегралов, которое облегчает решение таких задач.

Есть несколько способов привести интеграл к удобному виду: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, метод подстановки, введение под знак дифференциала, подстановка Вейерштрасса и др.

Метод непосредственного интегрирования – это последовательное приведение интеграла к табличному виду с помощью элементарных преобразований:∫соs² (х/2)dх = 1/2•∫(1 + соs х)dх = 1/2•∫dх + 1/2•∫соs xdх = 1/2•(х + sin х) + С, где C – константа.

Интеграл имеет множество возможных значений исходя из свойства первообразной, а именно наличия суммируемой константы. Таким образом, найденное в примере решение является общим. Частным решением интеграла называется общее при определенном значении постоянной, например, С=0.

Интегрирование по частям применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций. Формула метода:∫udv = u•v - ∫vdu.

Поскольку позиции множителей в произведения значения не имеют, то в качестве функции u лучше выбрать ту часть выражения, которая после дифференцирования упрощается. Пример:∫x·ln xdx = [u=ln x; v=x; dv=xdx] = x²/2·ln x – ∫x²/2·dx/x = x²/2·ln x – x²/4 + C.

Введение новой переменной – это прием метода подстановки. При этом меняется и сама подынтегральная функции, и ее аргумент:∫x·√(x - 2)dx = [t=x-2 → x = t²+2 → dx=2·tdt] = ∫(t² + 2)·t·2·tdt = ∫(2·t^4 + 4·t²)dt = 2·t^5/5 + 4·t³/3 + C = [x=t²+2] = 2/5·(x - 2)^(5/2) + 4/3·(x - 2)^(3/2) + C.

Метод введения под знак дифференциала предполагает переход к новой функции. Пусть ∫f(x) = F(x) + C и u = g(x), тогда ∫f(u)du = F(u) + C [g’(x) = dg(x)]. Пример:∫(2·x + 3)²dx = [dx = 1/2·d(2·x + 3)] = 1/2·∫(2·x + 3)²d(2·x + 3) = 1/6·(2·x + 3)³ + C.


CompleteRepair.Ru