Чтобы вычислить предел, необходимо определить, чему равна функция в точке, соответствующей предельному значению аргумента. В некоторых случаях задача не имеет конечного решения, а подстановка значения, к которому стремится переменная, дает неопределенность вида «ноль на ноль» или «бесконечность на бесконечность». В этом случае применимо правило, выведенное Бернулли и Лопиталем, которое подразумевает взятие первой производной.
Как и любое другое математическое понятие, предел может содержать под своим знаком выражение функции, слишком громоздкое или неудобное для простой подстановки. Тогда необходимо прежде упростить его, пользуясь обычными методами, например, группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
Рассмотрите пример, чтобы сделать теорию более наглядной. Найдите предел функции (2•x² – 3•x – 5)/(x + 1) при х, стремящемся к 1. Сделайте простую подстановку:(2•1² – 3•1 – 5)/(1 + 1) = -6/2 = -3.
Вам повезло, выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента. Это простейший случай вычисления предела. Теперь решите следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности:lim_(x→∞) (5 - x).
В этом примере x стремится к бесконечности, т.е. постоянно возрастает. В выражении переменная фигурирует со знаком минус, следовательно, чем больше значение переменной, тем больше убывает функция. Поэтому предел в этом случае равен -∞.
Правило Бернулли-Лопиталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4•x³)/(x³ + 2•х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = [0/0].Продифференцируйте выражение функции:lim (5•x^4 – 12•x²)/(3•x² + 4•x) = (5•16 – 12•4)/(3•4 - 8) = 8.
Замена переменной:lim_(x→125) (x + 2•∛x)/(x + 5) = [y=∛x] = lim_(y→5) (y³ + 2•y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/(125 + 5) = 27/26.
