Как вычислить предел
- Теория пределов в математическом анализе
- Вычисление предела
- Упрощение выражения функции
- Примеры вычисления пределов
Теория пределов в математическом анализе
Теория пределов является одной из важных областей математического анализа. Это понятие применимо к функциям и состоит из трех элементов: обозначение lim, выражение под знаком предела и предельное значение аргумента.
Вычисление предела
Для вычисления предела необходимо определить значение функции в точке, соответствующей предельному значению аргумента. Однако, в некоторых случаях, задача может не иметь конечного решения и подстановка значения, к которому стремится переменная, дает неопределенность типа "ноль на ноль" или "бесконечность на бесконечность". В таких случаях применимо правило Бернулли и Лопиталя, которое предполагает взятие первой производной.
Упрощение выражения функции
Под знаком предела выражение функции может быть слишком громоздким или неудобным для простой подстановки. В таких случаях необходимо упростить его, используя обычные методы, такие как группировка, вынесение общего множителя и замена переменной, при которой меняется и предельное значение аргумента.
Примеры вычисления пределов
Рассмотрим пример, чтобы сделать теорию более наглядной. Найдем предел функции (2•x² – 3•x – 5)/(x + 1) при x, стремящемся к 1. Подставим значение x=1 и получим результат -3. В этом случае выражение функции имеет смысл при данном предельном значении аргумента.
Рассмотрим следующую задачу, в которой фигурирует неоднозначное понятие бесконечности: lim_(x→∞) (5 - x). В этом примере x стремится к бесконечности, и поскольку переменная фигурирует со знаком минус, функция убывает с увеличением значения переменной. Таким образом, предел в этом случае равен -∞.
Используя правило Бернулли-Лопиталя, найдем предел функции (x^5 – 4•x³)/(x³ + 2•х²) при x, стремящемся к -2. Продифференцируем выражение функции и получим результат 8.
Для примера с заменой переменной рассмотрим предел функции (x + 2•∛x)/(x + 5) при x, стремящемся к 125. Заменим переменную на y=∛x и получим предел функции (y³ + 2•y)/(y³ + 3). Подставим значение y=5 и получим результат 27/26.
Теория пределов позволяет вычислять значения функций при стремлении аргумента к определенному значению или бесконечности, а также упрощать выражения функций для более удобного вычисления пределов.
