Главная Войти О сайте

Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Вычисление пределов с применением способов дифференциального исчисления основывается на правиле Лопиталя. При этом известны примеры, когда это правило не применимо. Поэтому остается актуальной и задача вычисления пределов обычными способами.Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных дробей Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например [0/0]. Для ее устранения просто поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, чтоделение и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведитевыражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус берется от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется формула (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=xиarctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов вычисления пределов.Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения неопределенностей типа [1^∞]. Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующейвиду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их показатели перемножаются. Соответствующий пример приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в том числе и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).Как вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х)равен единице. При вычислении пределов спомощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы. Метод позволяет существенно упростить процесс нахождения пределов, сделав его более прозрачным.


CompleteRepair.Ru