Главная Войти О сайте

Как вычислить производную функции

Понятие производной широко используется во многих областях науки. Поэтому дифференцирование (вычисление производной) - одна из базовых задач математики. Для нахождения производной любой функции необходимо знать несложные правила дифференцирования.Как вычислить производную функции

Для быстрого вычисления производных первым делом выучите таблицу производных основных элементарных функций. Такая таблица производных представлена на рисунке. Затем определите к какому типу относится ваша функция. Если это простая функция от одного переменного, найдите ее в таблице и вычислите. Например, (√(x))′=1/(2×√(x)).

Кроме этого необходимо изучить основные правила нахождения производных. Пусть f(x) и g(x) – некоторые дифференцируемые , с – константа. Постоянная величина всегда выносится за знак производной, то есть (с×f(x))′=c×(f(x))′. Например, (2×sin(x))′=2×(sin(x))′=2×cos(x).

Если вам нужно найти производную суммы или разности двух функций, то вычислите производные каждого слагаемого, а затем сложите их, то есть (f(x)±g(x))′=(f(x))′±(g(x))′. Например, (x²+x³)′=(x²)′+(x³)′=2×x+3×x². Или, например, (2^x−sin(x))′=(2^x)′−(sin(x))′=2^x×ln2−cos(x).

Вычисляйте производную произведения двух функций по формуле (f(x)×g(x))′=f(x)′×g(x)+f(x)×g(x)′, то есть как сумму произведений производной первой функции на вторую функцию и производной второй функции на первую функцию. Например, (√(x)×tg(x))′=(√(x))′×tg(x)+√(x)×(tg(x))′=tg(x)/(2×√(x))+√(x)/cos²(x).

Если ваша функция представляет собой частное двух функций, то есть имеет вид f(x)/g(x), для вычисления ее производной используйте формулу (f(x)/g(x))′=(f(x)′×g(x)−f(x)×g(x)′)/(g(x)²). Например, (sin(x)/x)′=((sin(x)′)×x−sin(x)×x²)/x²=(cos(x)×x−sin(x))/x².

Если вам нужно вычислить производную сложной функции, то есть функции имеющей вид f(g(x)), аргументом которой является какая-либо зависимость, используйте следующее правило: (f(g(x)))′=(f(g(x))′×(g(x))′. Сначала возьмите производную по сложному аргументу, считая его простым, затем посчитайте производную сложного аргумента и результаты перемножьте. Таким способом вы найдете производную любой степени вложенности. Например, (sin(x)³)′=3×(sin(x))²×(sin(x))′=3×(sin(x))²×cos(x).

Если ваша задача вычислить производную высшего порядка, то вычисляйте последовательно производные низшего порядка. Например, (x³)′′=((x³)′)′=(3×x²)′=6×x.


CompleteRepair.Ru