Как вычислить ранг матрицы
Определение ранга матрицы
Ранг матрицы - это количество строк или столбцов в наибольшем миноре матрицы, отличном от нуля. Минор - это подматрица, составленная из произвольных k строк и столбцов исходной матрицы A размера k на k.
Вычисление ранга матрицы
Для матриц небольшого размера можно вычислить ранг, перебирая все возможные миноры. Однако, в общем случае это затруднительно. Более удобным подходом является метод приведения матрицы к треугольному виду. Треугольный вид - это такая разновидность матрицы, при которой под главной диагональю матрицы стоят только нулевые элементы. После приведения к треугольному виду, можно подсчитать количество ненулевых строк или столбцов, что и будет рангом матрицы.
Пример вычисления ранга матрицы
Для примера рассмотрим прямоугольную матрицу размерности 3 на 4. Уже на этом этапе понятно, что ранг матрицы не будет превышать 3, так как наименьшая из размерностей равна 3.
Далее, с использованием элементарных операций, необходимо обнулить первый столбец матрицы, оставив ненулевым только первый элемент. Для этого умножим первую строку на 2 и вычтем поэлементно из второй строки, результат запишем во вторую строку. Затем умножим первую строку на -1 и вычтем из третьей строки, чтобы обнулить первый элемент третьей строки.
Осталось обнулить второй элемент третьей строки, чтобы получить нули ниже главной диагонали матрицы. Для этого из третьей строки вычтем вторую.
В данном случае элемент [3;3] матрицы также стал равным нулю, хотя это было случайностью. Необходимо отметить, что количество нулевых строк и столбцов в матрице не изменилось, следовательно, ранг матрицы равен 3.
Важные аспекты
- Размерности матрицы представляют количество строк и столбцов.
- Ранг матрицы не может превышать меньшую из ее размерностей.
- Элементарные преобразования матрицы позволяют получить матрицу с тем же рангом, но не равную исходной.
- Возможно использование преобразований не только со строками, но и со столбцами.