Главная Войти О сайте

Как вычислить векторное произведение

Векторное произведение – одна из наиболее распространенных действий, используемых в векторной алгебре. Эта операция нашла широкое распространение в науке и технике. Наиболее наглядно и удачно это понятие используется в теоретической механике.Как вычислить векторное произведение

Рассмотрите механическую задачу, для решения которой требуется векторное произведение. Как известно, момент силы относительно центра равен произведению этой силы на ее плечо (см. рис. 1а). Плечо h в ситуации, представленной на рисунке определяется по формуле h=|OP|sin(π-φ)=|OP|sinφ.Здесь F приложена к точке Р. С другой стороны Fh равно площади параллелограмма построенного на векторах ОР и F.

Сила F вызывает вращение Р относительно 0. В результате получается вектор, направленный по известному правилу «буравчика». Поэтому произведение Fh является модулем вектора момента силы OMo, который перпендикулярен плоскости, содержащей векторы F и OMo.

По определению векторное произведение a и b – это вектор с, обозначаемый с=[а,b] (имеются и другие обозначения, чаще всего через перемножение «крестиком»).с должен удовлетворять следующим свойствам:1) с ортогонален (перпендикулярен) а и b;2) |c|=|a||b|sinф, где ф угол между а и b;3) тройка веторов а, b и с правая, то есть кратчайший поворот от a к b производится против часовой стрелки.

Не вдаваясь в подробности, следует отметить, что для векторного произведения справедливы все арифметические действия кроме свойства коммутативности (перестановки), то есть [а,b] не равно [b,а].Геометрический смысл векторного произведения: его модуль равен площади параллелограмма (см. рис. 1b).

Нахождение векторного произведения согласнопо определения порой весьма затруднительно. Чтобы решить поставленную задачу, удобно использовать данные в координатной форме. Пусть в декартовых координатах:a(ax, ay, az)=ax*i+ay*j+az*k, a b(bx, by, bz)=bx*i+by*j+bz*k , где i, j, k - векторы-орты координатных осей.

В данном случае перемножение по правилам раскрытия скобок алгебраического выражения. При этом учтите, чтоsin(0)=0, sin(π/2)=1, sin(3π/2)=-1, модуль каждого орта равен 1 и тройка i, j, k правая, а сами векторы взаимно ортогональны. Тогда получите:с=[а,b]= (ay*bz- az*by)i- (ax*bz- az*bx)j+ (ax*by- ay*bx)k=с((ay*bz- az*by), (az*bx- ax*bz), (ax*by- *bx)).(1)Эта формула и является правилом вычисления векторного произведения в координатной форме. Ее недостаток – громоздкость и, как следствие, трудная запоминаемость.

Для упрощения методики вычисления векторного произведения используйте вектор- определитель, представленный на рисунке 2.Из данных, приведенных на рисунке, следует, что на следующем шаге раскрытия этого определителя, которое велось по его первой строке, как раз и возникает алгоритм (1). Как видите, здесь нет особых проблем с запоминанием.


CompleteRepair.Ru