Главная Войти О сайте

Как вычислять определитель матрицы

Определитель или детерминант матрицы - это некоторое число, вычисляемое по особым формулам, составленным из комбинаций ее членов.Как вычислять определитель матрицы

Сразу скажем, что определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.
Определитель матрицы будем рассчитывать следующим образом. Это будет сумма коэффициентов, стоящих в первой строке, каждый из которых умножим на определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием столбца и строки, в которых стоит умножаемый коэффициент. Знаки у этих сомножителей будут чередоваться (у первого будет "+", у второго будет "-" и т.д.).
Отметим, что эта формула верна для элементов любых строк - необязательно брать первую, просто это удобнее из-за наглядности.

Есть и второй способ. Существует определенный алгоритм вычисления.
Сначала введем понятие главной диагонали матрицы - это элементы, стоящие по диагонали, начиная с а11 и заканчивая а(nn) (то есть из левого верхнего угла в правый нижний).
Итак, вернемся к алгоритму.
Для матрицы из одного элемента определитель будет равен значению этого элемента.
Для матрицы 2х2 это будет разность произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагонали (по аналогии, побочная диагональ идет из правого верхнего угла в левый нижний).
Для матрицы 3х3 это будет поступают так: первые два столбика подписывают справа от третьего еще раз. Получается как бы матрица 3х5. Именно как бы, это просто прием. Далее суммируются произведения элементов по получившимся трем главным диагоналям и трем побочным. Эти суммы вычитаются. Полученное число и будет определителем матрицы.
На картинке изображен другой вариант вычисления этим же методом, просто тут обходимся без дописываний, а просто перемножаем элементы и вычитаем суммы произведений по указанной схеме.

Для матрицы 4х4, 5х5 и т.д. такое правило то же будет выполняться, но тут возникают сложности в связи с большим количеством чисел и перемножений/сложений, которые надо выполнить, так что возрастает риск совершить ошибку. Поэтому в таких случаях выгоднее использовать первый способ.
Отметим, что определитель единичной матрицы равен единице, в чем нетрудно убедиться.


CompleteRepair.Ru