Главная Войти О сайте

Как взять интеграл

В настоящее время существует большое количество интегрируемых функций, но отдельно стоит рассмотреть наиболее общие случаи интегрального исчисления, которые позволят составить некоторое представление об этой области высшей математики.Как взять интегралВам понадобится

Для простоты описания данного вопроса следует ввести следующее обозначение (см. рис. 1). Рассмотрите вычисление интегралов int(R(x)dx), где R(x) – рациональная функция или рациональная дробь, которая представляет собой отношение двух многочленов:R(x)=Pm(x)/Qn(x)=(b0x^m+b1x^(m-1)+…+b(m-1)x + bm)/(a0x^m+a1x^(m-1)+…+a(n-1)x + an),где Рm(х) и Qn(х) – многочлены с действительными коэффициентами.Еслиm

Теперь следует рассмотреть интегрирование правильныхдробей. Среди них выделяют простейшиедроби следующих четырех типов:1.A/(x-a);2. A/((x-b)^k), k=1,2,3,…;3.(Ax+B)/(x^2+2px+q), q-p^2>0;4.(Cx+D)/((x^2+2mx+n))^s, где n-m^2>0,s=1,2,3,… .Многочленx^2 + 2px + q не имеет вещественных корней, так какq-p^2>0. Аналогичная ситуация и в пункте 4.

Рассмотрите интегрирование простейших рациональных дробей.Интегралы от дробей 1-ого и 2-ого типов вычисляются непосредственно:int(A/(x-a))dx=A/ln| x-a| + C;int(A/((x-b)^k)dx=-(1/(k-1))A/((x-b)^(k-1) + C, C=const.Вычисление интеграла от дроби 3-ого типа целесообразнее проводить на конкретных примераххотя бы из-за того, что это проще.Дроби 4-ого типа в данной статье не рассматриваются.

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейшихдробей (при этом имеется ввиду, что многочлен Qn(x) разложен в произведение линейных и квадратичных множителей).Um(x)/Qn(x)=A/(x-a)+A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+…+Ak/(x-b)^k+…+(Mx+N)/(x^2+2px+q)+ +(M1x+N1)/(x^2+2mx+n)+…+ (Mrx+Nr)/(x^2+2mx+n)^r.Например, если в разложении произведения Qn(x) появилось (x-b)^3, то в сумму простейших дробей это внесет тройку слагаемых A1/(x-b)+A2/(x-b)^2+A3/(x-b)^3.Дальнейшие действия состоят в возращении к сумме дробей, т.е. в приведении к общему знаменателю. При этом дробь слева обладает «истинным» числителем, а справа – числителем с неопределенными коэффициентами. Так как знаменателиодинаковы, то следует приравнять друг к другу числители. При этом в первую очередь необходимо воспользоваться тем правилом, что многочлены равны друг другу, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Такое решение всегда даст положительный результат. Его можносократить, если еще до приведения подобных в многочлене с неопределенными коэффициентами суметь «засечь» нули некоторых слагаемых.

Пример. Найтиint((x/(1-x^4))dx).Разложитезнаменатель дроби в произведение.1-x^4=(1-x)(1+x)(x^2+1).(x^2)/(1-x^4)=A/(1-x) + B/(x+1) +(Cx+D)/(x^2+1).Приведите сумму к общему знаменателю и приравняйте числители дробей в обеих частях равенства.х=A(x+1)(x^2+1) +B(1-x)(x^2+1)+(Cx+D)(1-x^2)Заметьте, чтоПрих = 1:1 = 4А,А = 1/4.Прих = - 1:-1 = 4В,В = -1/4.Коэффициентыприx^3:A-B-C=0, откуда С=1/2.Коэффициенты приx^2: A+B-D=0 и D=0. x/(1-x^4)=-(1/4)(1/(x+1)) – (1/4)/(x-1) + (1/2)(х/(x^2+1)).int(x/(1-x^4))dx)=-(1/4)int((1/(x+1))dx)-(1/4)int((1/(x-1))dx)+(1/4)int((1/(x^2+1))d(x^2+1)==-(1/4)ln|x+1|- (1/4)ln|x-1|+(1/4)ln(x^2+1) + C=(1/4)ln|(x^2+1)/(x^2-1)| + C.


CompleteRepair.Ru