Как взять интеграл
- Интегральное исчисление: общие случаи и примеры
- Общий подход к интегрированию рациональных функций
- Интегрирование правильных дробей
- Разложение рациональных функций на простейшие дроби
- Приведение к общему знаменателю и вычисление интеграла
- Пример вычисления интеграла
- Давайте рассмотрим пример: Найдем интеграл от x/(1-x^4).
- Разложим знаменатель дроби в произведение: 1-x^4 = (1-x)(1+x)(x^2+1).
- Выразим дробь x/(1-x^4) через простейшие дроби:
- x/(1-x^4) = A/(1-x) + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2+1).
- x = A(x+1)(x^2+1) + B(1-x)(x^2+1) + (Cx+D)(1-x^2).
- Находим значения коэффициентов:
- Таким образом, получаем выражение для интеграла:
- Полезная литература
Интегральное исчисление: общие случаи и примеры
В настоящее время математика предлагает множество интегрируемых функций, но существуют особые случаи, которые позволяют понять основы интегрального исчисления. Для начала вам понадобится лишь бумага и ручка.
Общий подход к интегрированию рациональных функций
Для простоты описания введем обозначение R(x), где R(x) представляет собой рациональную функцию или рациональную дробь. R(x) можно записать в виде отношения двух многочленов: R(x) = Pm(x)/Qn(x), где Pm(x) и Qn(x) - многочлены с действительными коэффициентами.
Интегрирование правильных дробей
Правильные дроби представляют собой особый тип рациональных дробей. Рассмотрим четыре типа правильных дробей:
1. A/(x-a)
2. A/((x-b)^k), где k=1,2,3,...
3. (Ax+B)/(x^2+2px+q), где q-p^2>0
4. (Cx+D)/((x^2+2mx+n))^s, где n-m^2>0, s=1,2,3,...
Для дробей первых двух типов интегралы вычисляются непосредственно. Для дробей третьего типа целесообразно использовать конкретные примеры. Дроби четвертого типа не рассматриваются в данной статье.
Разложение рациональных функций на простейшие дроби
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей. Для этого многочлен Qn(x) разлагается на произведение линейных и квадратичных множителей.
Пример разложения: Um(x)/Qn(x) = A/(x-a) + A1/(x-b) + A2/(x-b)^2 + ... + Ak/(x-b)^k + ... + (Mx+N)/(x^2+2px+q) + (M1x+N1)/(x^2+2mx+n) + ... + (Mrx+Nr)/(x^2+2mx+n)^r
Приведение к общему знаменателю и вычисление интеграла
Дальнейшие действия состоят в приведении суммы дробей к общему знаменателю и приравнивании числителей дробей в обеих частях равенства. Знаменатели одинаковы, поэтому можно приравнять числители. После этого следует использовать правило, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Это решение всегда приведет к положительному результату. Если возможно, можно сократить полученное выражение, "засекая" нули некоторых слагаемых.
Пример вычисления интеграла
Давайте рассмотрим пример: Найдем интеграл от x/(1-x^4).
Разложим знаменатель дроби в произведение: 1-x^4 = (1-x)(1+x)(x^2+1).
Выразим дробь x/(1-x^4) через простейшие дроби:
x/(1-x^4) = A/(1-x) + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2+1).
Приведем сумму к общему знаменателю и приравняем числители дробей в обеих частях равенства:
x = A(x+1)(x^2+1) + B(1-x)(x^2+1) + (Cx+D)(1-x^2).
Находим значения коэффициентов:
При x = 1: 1 = 4A, A = 1/4.
При x = -1: -1 = 4B, B = -1/4.
Коэффициенты при x^3: A-B-C = 0, C = 1/2.
Коэффициенты при x^2: A+B-D = 0, D = 0.
Таким образом, получаем выражение для интеграла:
int(x/(1-x^4))dx = -(1/4)ln|x+1| - (1/4)ln|x-1| + (1/2)ln(x^2+1) + C = (1/4)ln|(x^2+1)/(x^2-1)| + C.
Полезная литература
Если вы хотите углубиться в изучение дифференциального и интегрального исчисления, рекомендуется обратиться к следующей литературе:
Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для ВТУЗов. Т.1. - М.: Наука, 1972. - 576 с.
