Как взять логарифм от логарифма
Логарифм используется для нахождения показателя степени, в которую следует возвести основание для получения числа, указанного под знаком логарифма. Не обязательно под знаком логарифма должно быть число - можно указывать переменную, многочлен, функцию и т.д. Может подлогарифменное выражение содержать и еще один логарифм. Операция вычисления логарифма от логарифма особой сложности не представляет, тем более что часто ее можно упростить преобразованиями внутреннего логарифма.
Само по себе нахождение логарифма от логарифма никаких специальных преобразований не предполагает - просто выполните последовательно две таких операции. Единственная особенность - начинать надо с внутреннего логарифма, т.е. с того, который является подлогарифменным выражением другого. Например, если нужно найти log₃ log₂ 512, начинайте с вычисления логарифма 512 по основанию 2 (log₂ 512 = 9), а затем посчитайте логарифм полученного результата с основанием 3 (log₃ 9 = 2), т.е. log₃ log₂ 512 = log₃ 9 = 2.
Если одним из подлогарифменных выражений является многочлен, используйте формулы преобразования до того, как приступить к вычислениям. Например, сумму логарифмов по одинаковому основанию преобразуйте в логарифм произведения их подлогарифменных выражений по тому же основанию: logₐ (logᵤ x + logᵤ y) = logₐ logᵤ (x*y). Аналогичным способом трансформируйте и разность логарифмов: logₐ (logᵤ x - logᵤ y) = logₐ logᵤ (x/y).
В некоторых случаях, если подлогарифменное выражение содержит число или переменную, возведенную в степень, появляется возможность еще больше упростить выражение. Скажем, использованный в первом шаге пример log₃ log₂ 512 можно представить в таком виде: log₃ log₂ 2⁹. Это позволяет вывести 9 из под знака внутреннего логарифма и необходимость вычислять логарифм 512 отпадет, так как log₃ log₂ 2⁹ = log₃ (9*log₂ 2) = log₃ (9*1) = 2.
Описанное в предыдущем шаге правило можно применять и для логарифмов от выражений, содержащих корень или дробь. Для этого представьте корень в виде дробного показателя степени. Например, если надо найти log₃ log₂ ⁹√2, то ⁹√2 можно представить как 2 в степени 1/9. Тогда log2 ⁹√2 = 1/9 * log₂ 2 = 1/9 = 1/3² = 3⁻². А log₃ 3⁻² = -2. Все эти преобразования позволили обойтись вообще без вычислений, а записать решение можно так: log₃ log₂ ⁹√2 = log₃ (1/9 * log₂ 2) = log₃ (1/9) = log₃ (1/3²) = log₃ 3⁻² = -2.
