Как определить потенциалы точек
- Понятие потенциала в науке и технике
- Векторные поля и потенциальность
- Вычисление потенциала потенциального поля
- Пример вычисления потенциала
Понятие потенциала в науке и технике
Понятие потенциала нашло очень широкое распространение не только в науке и технике, но и в быту. Например, напряжение в электрической сети – это разность потенциалов. Однако, наиболее четко это понятие исследовано в теории поля, где оно возникает при изучении специальных полей, часть которых являются потенциальными.
Векторные поля и потенциальность
Векторное поле образует векторную величину, заданную в виде функции точек поля М(x,y,z). Обозначается как F=F(M)=F(x,y,z) или F=i∙P(x,y,z)+j∙Q(x,y,z)+k∙R(x,y,z), где P, Q, R - координатные функции. Наибольшее применение векторные поля получили в теории электромагнитного поля.
Векторное поле называется потенциальным в некоторой области, если его можно представить в виде F(M)=grad(f(M)). При этом f(M)=f(x,y,z) называется скалярным потенциалом векторного поля. Если F(M)={P, Q, R}, то P=∂f/∂x, Q=∂f/∂y, R=∂f/∂z. Известно, что для любой скалярной функции f ротор ее градиента rot(gradf)=0. Это равенство является необходимым и достаточным условием потенциальности F(M). Его можно перефразировать в виде: ∂Q/∂x=∂P/∂y, ∂P/∂z=∂R/∂x, ∂R/∂y=∂Q/∂z.
Вычисление потенциала потенциального поля
Вычисление потенциала f потенциального поля F=i∙P(x,y,z)+j∙Q(x,y,z)+k∙R(x,y,z) производится на основе того, что в силу определения df= F∙dr (имеется в виду скалярное произведение). Тогда f=∫(Мо М) F∙dr=∫(Мо М)P∙dx+Q∙dy+R∙dz представляет собой криволинейный интеграл второго рода вдоль произвольной линии от Мо к переменной точке М. Проще всего использовать ломанную, отрезки которой параллельны координатным осям.
Пример вычисления потенциала
Рассмотрим пример. Дано векторное поле F(x,y,z)=(2x∙y+z)i + (x^2-2y)∙j+x∙k. Найдем его потенциал в точке М(1,2,1).
Проверим, является ли заданное поле потенциальным. Для этого можно вычислить его ротор, но проще использовать равенства ∂Q/∂х=∂P/∂y, ∂P/∂z=∂R/∂х, ∂R/∂y=∂Q/∂z. Здесь P=2x∙y+z, Q=x^2-2y, R=x. ∂Q/∂х=2x, ∂P/∂y=2x – первое равенство выполнено. ∂P/∂z=1, ∂R/∂х=1 второе равенство выполнено. ∂R/∂y=0, ∂Q/∂z=0 – выполнено и третье равенство.
Теперь вычислим потенциал, приняв за начальную точку (0,0,0). f=∫(0 x)0∙dx*+∫(0 y)∙(x^2-y*)∙dy*+∫(0 z)∙x∙dz*=(x^2)∙y-y^2+x∙z. f(1,2,1)=-1.
Таким образом, мы рассмотрели понятие потенциала, его применение в векторных полях и привели пример вычисления потенциала потенциального поля. Это важное понятие не только в науке и технике, но и в повседневной жизни.
