Эврика!

Как вычислить функцию и построить график

Содержание

  1. Инструкция

Как вычислить функцию и построить график

Понятие «функция» относится к математическому анализу, но имеет более широкое применение. Чтобы вычислить функцию и построить график, нужно исследовать ее поведение, найти критические точки, асимптоты и проанализировать выпуклости и вогнутости. Но, конечно, первым шагом является поиск области определения.

Инструкция

  • Для того чтобы вычислить функцию и построить график, нужно выполнить следующие действия: найти область определения, проанализировать поведение функции на границах этой области (вертикальные асимптоты), исследовать на четность, определить промежутки выпуклости и вогнутости, выявить наклонные асимптоты и рассчитать промежуточные значения.
  • Область определенияПервоначально предполагается, что ею является бесконечный интервал, затем на него накладываются ограничения. Если в выражении функции встречаются следующие подфункции, решите соответствующие неравенства. Их совокупный результат и будет областью определения:
    • Корень четной степени от Φ с показателем в виде дроби с четным знаменателем. Выражение, стоящее под его знаком, может быть только положительным или нулем: Φ ≥ 0;
    • Логарифмическое выражение вида log_b Φ → Φ> 0;
    • Две тригонометрические функции тангенс и котангенс. Их аргумент – мера угла, которая не может быть равной π•k + π/2, иначе функция не имеет смысла. Итак, Φ ≠ π•k + π/2;
    • Арксинус и арккосинус, которые имеют строгую область определения -1 ≤ Φ ≤ 1;
    • Степенная функция, показатель которой – другая функция: Φ^f → Φ > 0;
    • Дробь, образованная отношением двух функций Φ1/Φ2. Очевидно, что Φ2 ≠ 0.
  • Вертикальные асимптотыЕсли они есть, то располагаются на границах области определения. Чтобы это выяснить, решите односторонние пределы при х → A-0 и х → В+0, где х – аргумент функции (абсцисса графика), А и В – начало и конец интервала области определения. Если таких интервалов несколько, исследуйте все их граничные значения.
  • Четность/нечетностьПодставьте в выражение функции аргумент (-х) вместо х. Если результат не изменится, т.е. Φ(-х) = Φ(х), то она четная, если же Φ(-х) = -Φ(х), – нечетная. Это необходимо для того, чтобы выявить наличие симметрии графика относительно оси ординат (четность) или начала координат (нечетность).
  • Возрастание/убывание, точки экстремумаВычислите производную функции и решите два неравенства Φ’(х) ≥ 0 и Φ’(х) ≤ 0. В результате вы получите промежутки возрастания/убывания функции. Если в какой-то точке производная обращается в ноль, то она называется критической. Возможно, она также является точкой перегиба, выясните это в следующем действии.
  • В любом случае это точка экстремума, в которой происходит перелом, смена одного состояния на другое. Например, если убывающая функция становится возрастающей, то это точка минимума, если наоборот – максимума. Обратите внимание, что производная может иметь свою область определения, более строгую.
  • Выпуклость/вогнутость, точки перегибаНайдите вторую производную и решите аналогичные неравенства Φ’’(х) ≥ 0 и Φ’’(х) ≤ 0. На этот раз результатами будут интервалы выпуклости и вогнутости графика. Точки, в которых вторая производная равна нулю, являются стационарными и могут быть точками перегиба. Проверьте, как ведет себя функция Φ’’ до и после них. Если меняет знак, значит, это точка перегиба. Кроме того, проверьте на это свойство критические точки, определенные в предыдущем действии.
  • Наклонные асимптотыАсимптоты – большие помощники при построении графика. Это прямые линии, к которым приближается бесконечная ветвь кривой функции. Они задаются уравнением у = k•х + b, где коэффициент k равен пределу lim Φ/х при х→ ∞, а слагаемое b – такому же пределу выражения (Φ – k•х). При k=0 асимптота проходит горизонтально.
  • Вычисление в промежуточных точкахЭто вспомогательное действие, чтобы добиться большей точности построения. Подставьте несколько любых значений из области определения в функцию.
  • Построение графикаНачертите асимптоты, нанесите экстремумы, отметьте точки перегибов и промежуточные точки. Схематично покажите промежутки возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, например, знаками «+», «-» или стрелками. Проведите линии графика по всем точкам, приблизьте к асимптотам, изгибая в соответствии со стрелками или знаками. Проверьте симметрию, выявленную на третьем шаге.

Как усилить радиосигнал
Как усилить радиосигнал
Как распознать этиловый спирт
Как распознать этиловый спирт
Как проходила аграрная столыпинская реформа
Как проходила аграрная столыпинская реформа
Как перевести газ в Гкал
Как перевести газ в Гкал
Что такое мочевина
Что такое мочевина
Что такое синтаксис
Что такое синтаксис

© CompleteRepair.Ru