Как доказать непрерывность функции
- Непрерывные функции: определение и доказательство
- Доказательство непрерывности функции
- Пример 1: непрерывность функции f(x) = x^2
- Некоторые элементарные функции, являющиеся непрерывными
- Пример 2: непрерывность функции f(x) = sin x
Непрерывные функции: определение и доказательство
Функция называется непрерывной, если в ее отображении отсутствуют скачки при малых изменениях аргумента между этими точками. Графически такая функция изображается сплошной линией, без пропусков.
Доказательство непрерывности функции
Для доказательства непрерывности функции в точке используются ε-Δ-рассуждения. Согласно ε-Δ определению, функция непрерывна в точке x_0, если для любого ε > 0 существует такое Δ > 0, что из |x - x_0| < Δ следует |f(x) - f(x_0)| < ε.
Пример 1: непрерывность функции f(x) = x^2
Для доказательства непрерывности функции f(x) = x^2 в точке x_0 применяем ε-Δ определение. Для любого ε > 0 найдем Δ, такое что |x^2 – x_0^2| < ε при |x – x_0| < Δ.
Решив квадратное уравнение (x – x_0)^2 + 2*x_0*(x – x_0) – ε = 0, получим корень |x – x_0| = √(|x_0|^2 + ε).
Таким образом, функция f(x) = x^2 непрерывна при |x – x_0| = √(|x_0|^2 + ε) = Δ.
Некоторые элементарные функции, являющиеся непрерывными
Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):
- f(x) = C (константа)
- все тригонометрические функции - sin x, cos x, tg x, ctg x и пр.
Пример 2: непрерывность функции f(x) = sin x
Для доказательства непрерывности функции f(x) = sin x используется определение непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению. Записываем Δf = sin (x + Δx) - sin x.
Преобразуем по формуле для тригонометрических функций: Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).
Функция cos ограничена при x ≤ 0, а предел функции sin(Δx/2) стремится к нулю при Δx→0. Следовательно, функция f(x) = sin x непрерывна для любого значения x.
