Эврика!

Регистрация

Как исследовать функцию и построить ее график

Исследование функций — немаловажная часть математического анализа. Хотя вычисление пределов и построение графиков могут показаться сложной работой, они, тем не менее, помогают решить множество важных математических задач. Исследование функций лучше всего проводить по разработанной и проверенной методике.Как исследовать функцию и построить ее график

Найдите область определения функции. Например, функция sin(x) определена на всем интервале от -∞ до +∞, а функция 1/x — на интервале от -∞ до +∞ за исключением точки x = 0.

Определите области непрерывности и точки разрыва. Обычно функция непрерывна в той же самой области, где она определена. Чтобы обнаружить разрывы, нужно вычислить пределы функции при приближении аргумента к изолированным точкам внутри области определения. Например, функция 1/x стремится к бесконечности, когда x→0+, и к минус бесконечности, когда x→0-. Это значит, что в точке x = 0 она имеет разрыв второго рода.
Если пределы в точке разрыва конечны, но не равны, то это разрыв первого рода. Если же они равны, то функция считается непрерывной, хотя в изолированной точке она и не определена.

Найдите вертикальные асимптоты, если они есть. Здесь вам помогут вычисления предыдущего шага, поскольку вертикальная асимптота практически всегда находится в точке разрыва второго рода. Однако иногда из области определения бывают исключены не отдельные точки, а целые интервалы точек, и тогда вертикальные асимптоты могут располагаться на краях этих интервалов.

Проверьте, обладает ли функция особыми свойствами: четностью, нечетностью и периодичностью.
Функция будет четной, если для любого x в области определения f(x) = f(-x). Например, cos(x) и x^2 — четные функции.

Нечетность функции обозначает, что для любого x в области определения f(x) = -f(-x). Например, sin(x) и x^3 — нечетные функции.

Периодичность — свойство, говорящее о том, что есть некое число T, называемое периодом, такое, что для любого x f(x) = f(x + T). Например, все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) — периодические.

Найдите точки экстремума. Для этого вычислите производную от заданной функции и найдите те значения x, где она обращается в ноль. Например, функция f(x) = x^3 + 9x^2 -15 имеет производную g(x) = 3x^2 + 18x, которая обращается в ноль при x = 0 и x = -6.

Чтобы определить, какие точки экстремума являются максимумами, а какие минимумами, отследите изменение знаков производной в найденных нулях. g(x) меняет знак с плюса на минус в точке x = -6, а в точке x = 0 обратно с минуса на плюс. Следовательно, функция f(x) в первой точке имеет максимум, а во второй — минимум.

Таким образом, вы нашли и области монотонности: f(x) монотонно возрастает на промежутке -∞;-6, монотонно убывает на -6;0 и снова возрастает на 0;+∞.

Найдите вторую производную. Ее корни покажут, где график заданной функции будет выпуклым, а где - вогнутым. Например, второй производной от функции f(x) будет h(x) = 6x + 18. Она обращается в ноль при x = -3, меняя при этом знак с минуса на плюс. Следовательно, график f(x) до этой точки будет выпуклым, после нее — вогнутым, а сама эта точка будет точкой перегиба.

У функции могут быть и другие асимптоты, кроме вертикальных, но только в том случае, если в ее область определения входит бесконечность. Чтобы их найти, вычислите предел f(x), когда x→∞ или x→-∞. Если он конечен, то вы нашли горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота — прямая вида kx + b. Чтобы найти k, вычислите предел f(x)/x при x→∞. Чтобы найти b — предел (f(x) – kx) при том же x→∞.

Постройте график функции по вычисленным данным. Обозначьте асимптоты, если они есть. Отметьте точки экстремума и значения функции в них. Для большей точности графика вычислите значения функции еще в нескольких промежуточных точках. Исследование завершено.

© CompleteRepair.Ru