Как избавиться от иррациональности в знаменателе
- Избавление от иррациональности в знаменателе дробного числа
- Простой пример
- Иррациональность в знаменателе с корнем степени
- Иррациональность в знаменателе с суммой или разностью
- Знаменатель с иррациональностью большей степени
Избавление от иррациональности в знаменателе дробного числа
Запись дробного числа без иррациональности в знаменателе является более простой и понятной. Поэтому, если возникает иррациональность в знаменателе, разумно избавиться от нее. В этом случае иррациональность может быть перенесена в числитель.
Простой пример
Рассмотрим простейший пример - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух является иррациональным числом в знаменателе. Чтобы избавиться от иррациональности, необходимо умножить числитель и знаменатель на знаменатель дроби. Таким образом, имеем sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга дает результат, который находится под каждым из корней, в данном случае - двойку. В результате получаем: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм также применим к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе. Например: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.
Иррациональность в знаменателе с корнем степени
Действия аналогичны, если в знаменателе находится не квадратный корень, а, например, кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе умножается на корень того же порядка, а также на корень того же порядка нужно умножить и числитель. Таким образом, иррациональность переходит в числитель.
Иррациональность в знаменателе с суммой или разностью
В случае, когда в знаменателе присутствует сумма или разность рационального числа и квадратного корня, можно использовать известную формулу (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2) для избавления от иррациональности. Если в знаменателе есть разность, числитель и знаменатель нужно умножить на сумму тех же чисел, а если есть сумма, то на разность. Эта сумма или разность будет называться сопряженной к выражению в знаменателе. Например: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.
Знаменатель с иррациональностью большей степени
В случае, когда в знаменателе присутствует сумма или разность, в которой есть корень более высокой степени, избавление от иррациональности не всегда возможно и ситуация становится нетривиальной.
