Как находить асимптоты
Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно приближается к графику функции при удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x), на бесконечность, никогда не пересекая график функции.
Вертикальные асимптоты
На практике вертикальные асимптоты отыскиваются очень просто. Это точки, в которых знаменатель функции f(x) обращается в ноль. Вертикальная асимптота представляет собой вертикальную прямую с уравнением x=a. То есть, когда х стремится к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательной).
Наклонные асимптоты
Наклонные асимптоты находятся немного более сложно. Они задаются уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции составляет |MP|. Если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN|. Абсцисса у точек М и N общая. Расстояние |MN|=f(x)- (kx + b), где k - тангенс угла наклона прямой (асимптоты) к оси абсцисс.
Пример
Для функции y=(x^2+2x-1)/(x-1), очевидна вертикальная асимптота при x=1 (как ноль знаменателя). Чтобы найти наклонную асимптоту, мы должны вычислить пределы. Вычисляя предел на бесконечности от рациональной дроби (x^2+2x-1)/(x-1), получаем k=1. Далее, вычисляем предел разности f(x)-kx при х стремящемся к бесконечности и получаем b=3. Таким образом, уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид y=x+3.
