Как находить наименьшее значение функции
- Нахождение наименьшего значения функции на отрезке без графика
- Шаг 1: Задание функции и отрезка
- Шаг 2: Нахождение первой производной
- Шаг 3: Определение точек обнуления производной
- Шаг 4: Определение точек, принадлежащих отрезку
- Шаг 5: Вычисление значений функции
- f(-2) = 3*(-2)² + 4*(-2)³ + 1 = 12 - 32 + 1 = -19
- f(-0,5) = 3*(-0,5)² + 4*(-0,5)³ + 1 = 3/4 - 1/2 + 1 = 1,25
- f(0) = 3*0² + 4*0³ + 1 = 1
- f(1) = 3*1² + 4*1³ + 1 = 3 + 4 + 1 = 8
Нахождение наименьшего значения функции на отрезке без графика
Исследование функции помогает не только в построении ее графика, но иногда позволяет получить полезную информацию о функции, не прибегая к графическому изображению. Существуют способы нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке без необходимости строить ее график.
Шаг 1: Задание функции и отрезка
Предположим, что у нас есть уравнение функции y = f(x), которая является непрерывной и определенной на отрезке [a; b]. Наша цель - найти наименьшее значение функции на этом отрезке. Для примера, рассмотрим функцию f(x) = 3x² + 4x³ + 1 на отрезке [-2; 1]. Эта функция непрерывна и определена на всей числовой прямой, а значит и на заданном отрезке.
Шаг 2: Нахождение первой производной
Найдите первую производную функции по переменной x: f'(x). Для нашего случая получим: f'(x) = 3*2x + 4*3x² = 6x + 12x².
Шаг 3: Определение точек обнуления производной
Определите точки, в которых производная f'(x) равна нулю или не может быть определена. В нашем примере производная f'(x) существует для всех x, приравняем ее нулю: 6x + 12x² = 0 или 6x(1 + 2x) = 0. Очевидно, что произведение обращается в нуль, если x = 0 или 1 + 2x = 0. Следовательно, f'(x) = 0 при x = 0 и x = -0,5.
Шаг 4: Определение точек, принадлежащих отрезку
Определите среди найденных точек те, которые принадлежат заданному отрезку [a; b]. В нашем примере обе точки x = 0 и x = -0,5 принадлежат отрезку [-2; 1].
Шаг 5: Вычисление значений функции
Осталось вычислить значения функции в точках обнуления производной, а также на концах отрезка. Наименьшим значением функции на отрезке будет наименьшее из найденных значений. Вычислим значения функции при x = -2, -0,5, 0 и 1.
f(-2) = 3*(-2)² + 4*(-2)³ + 1 = 12 - 32 + 1 = -19
f(-0,5) = 3*(-0,5)² + 4*(-0,5)³ + 1 = 3/4 - 1/2 + 1 = 1,25
f(0) = 3*0² + 4*0³ + 1 = 1
f(1) = 3*1² + 4*1³ + 1 = 3 + 4 + 1 = 8
Таким образом, наименьшим значением функции f(x) = 3x² + 4x³ + 1 на отрезке [-2; 1] является f(x) = -19, оно достигается на левом конце отрезка.