Вам понадобитсяИзвестно, что для возрастающей функции y=f(x) ее производная f’(x)>0и соответственно f’(x)
Пример: найдите промежутки монотонности y=(x^3)/(4-x^2).Решение. Функция определена на всей числовой оси, кроме х=2 и х=-2. Корме того она нечетна.Действительно, f(-x)=((-x)^3)/(4-(-x)^2)= -(x^3)/(4-x^2)=f(-x). Это означает, что f(x) симметрична относительно начала координат.Поэтому исследование поведение функции можно совершить только для положительных значений х, а затем достроить отрицательную ветвь симметрично положительной.y’=(3(x^2)(4-x^2)+2x(x^3))/((4-x^2)^2)=(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2).y’ - не существует при x=2 и x=-2,но при этом не существует и сама функция.
Теперь необходимо найти интервалы монотонности функции.Для этого следует решить неравенство:(x^2)(12-x^2)/((4-x^2)^2)>0 или (x^2)(x-2sqrt3)(x+2sqrt3)((x-2)^2)((x+2)^2))0. Используйте метод интервалов, при решении неравенства. Тогда получится (см. рис.1).
Далее рассмотрите поведение функции на интервалах монотонности, присоединяя сюда все сведения из области отрицательных значений числовой оси (в силу симметрии все сведения там обратны, в том числе и по знаку).f’(x)>0 при –∞
Пример 2. Найти промежуткии убывания функции y=x+lnx/x.Решение. Область определения функции–x>0.y’=1+(1-lnx)/(x^2)=(x^2+1-lnx)/(x^2).Знак производной при x>0 полностью определяется скобкой (x^2+1-lnx). Так как x^2+1>lnx, то y’>0. Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.
Пример 3. Найти интервалы монотонности функцииy’=x^4-2x^2-5.Решение. y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). Применяя метод интервалов (см. рис.2), необходимо найти промежутки положительных и отрицательных значений производной. Используя метод интервалов, вы сможете быстро определить, что на промежутках x0функция возрастает.
