Главная Войти О сайте

Как найти фундаментальную систему решений

Как найти фундаментальную систему решений

Содержание:
  1. Фундаментальная система решений линейных дифференциальных уравнений
  2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
  3. Линейный дифференциальный оператор
  4. Линейная независимость функций
  5. Определитель Вронского
  6. Линейная зависимость решений
  7. Условие линейной независимости
  8. Фундаментальная система решений

Фундаментальная система решений линейных дифференциальных уравнений

Данный вопрос относится к решению однородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. При этом обосновывается, но не решается на конкретных примерах, поиск системы решений, называемой фундаментальной (сокращенно ФСР), линейная комбинация функций которой дает общее решение дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Инструкция 1 Дифференциальное уравнение высшего порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее производных. Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) n-го порядка иллюстрирует рис. 1.

Линейный дифференциальный оператор

Левую часть уравнения (1) называют линейным дифференциальным оператором n-го порядка и обозначают: L[y]: L[y]=y^(n)+a1(x) y^(n-1)+…+a(n-1)(x) y’+a^n(x y)=0. Уравнение (1) можно переписать в виде L[y]=0.

Линейная независимость функций

Пусть на промежутке (a, b) дана система функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Функции у1(x), у2(x),…, уn(x) называются линейно независимыми на (a, b), если линейная комбинация k1у1(x)+k2 у2(x)+…+knуn(x)=0, лишь при k1=k2=…=kn=0.

Определитель Вронского

Теперь необходимо рассмотреть вопрос обоснования линейной независимости системы функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Пусть они имеют производные до (n-1)-го порядка включительно. Определитель, составленный из этих функций и их производных, называется определителем Вронского (см. рис. 2) или вронскнианом.

Линейная зависимость решений

Построение определителя Вронского, составленного из решений ЛОДУ L[y]=0 на промежутке (a, b), позволяет ответить на вопрос о том, являются ли эти решения линейно-зависимыми. Несложно доказать, что если функции у1(x), у2(x),…, уn(x) линейно зависимы на промежутке (a, b), то определитель Вронского этих функций равен нулю во всех точках интервала. Учитывая данное свойство ЛОДУ, можно легко сформулировать следующее утверждение.

Условие линейной независимости

Для того чтобы решения ЛОДУ у1(x), у2(x),…, уn(x) с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского W(x) не равнялся нулю ни в одной точке данного промежутка (a, b).

Фундаментальная система решений

Только теперь, на заключительном шаге, дать окончательный ответ на поставленный вопрос. Любая совокупность n линейно независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения. Кроме того, становится понятно, что непосредственный ответ «как найти» может быть получен с помощью определителя Вронского лишь после ответа на вопрос «Как решить ЛОДУ?».


CompleteRepair.Ru