Дифференциальное уравнение высшего порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее производных. Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) n-го порядка иллюстрирует рис. 1.
Левую часть уравнения (1) называют линейным дифференциальным операторомn-го порядка и обозначают: L[y]:L[y]=y^(n)+a1(x) y^(n-1)+…+a(n-1)(x) y’+a^n(x y)=0. Уравнение (1) можно переписать в виде L[y]=0.
Пусть на промежутке (a, b) дана система функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Функции у1(x), у2(x),…, уn(x) называются линейно независимыми на (a, b),если линейная комбинация k1у1(x)+k2 у2(x)+…+knуn(x)=0, лишЬ при k1=k2=…=kn=0.
Теперь необходимо рассмотреть вопрос обоснования линейной независимости системы функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Пусть они имеют производные до (n-1)-го порядка включительно. Определитель, составленный из этих функций и их производных, называется определителем Вронского (см. рис. 2) или вронскнианом.
Построение определителя Вронского, составленного из ЛОДУL[y]=0 на промежутке (a, b), позволяет ответить на вопрос о том, являются ли эти решения линейно-зависимыми. Несложно доказать, что если функции у1(x), у2(x),…, уn(x)линейно зависимы на промежутке (a, b), тоопределитель Вронского этих функций равен нулю во всех точках интервала. Учитывая данное свойство ЛОДУ, можно легко сформулировать следующее утверждение.
Для того чтобы решения ЛОДУ у1(x), у2(x),…, уn(x) с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского W(x) не равнялся нулю ни в одной точке данного промежутка (a, b).
Только теперь, на заключительном шаге, дать окончательный ответ на поставленный вопрос.Любая совокупность n линейно независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения. Кроме того, становится понятно, что непосредственный ответ «как найти» может быть получен с помощью определителя Вронского лишь после ответа на вопрос «Как решить ЛОДУ?».
