Как найти направляющие косинусы
- Упрощение расчетов с помощью направляющих косинусов
- Инструкция 1: Определение направляющих косинусов
- Инструкция 2: Расчет координат вектора B
- Инструкция 3: Свойство направляющих косинусов
- Пример: Расчет направляющих косинусов
Упрощение расчетов с помощью направляющих косинусов
Математика – наука сложная и точная. Подход к ней нужен грамотный и не терпящий спешки. Естественно, без абстрактного мышления тут не обойтись. Как и без ручки с бумагой для визуального упрощения расчетов.
Инструкция 1: Определение направляющих косинусов
Отметьте углы с помощью букв гамма, бета и альфа, которые образованы вектором B с направлением в положительную сторону оси координат. Косинусы данных углов следует называть направляющими косинусами вектора B.
Инструкция 2: Расчет координат вектора B
В прямоугольной декартовой системе координат координаты B равны проекциям вектора на оси координат. Таким образом,B1 = |B|cos(альфа), B2 = |B|cos(бета), B3 = |B|cos(гамма). Отсюда следует, что:cos (альфа)=B1||B|, cos(бета) =B2||B|, cos(гамма)= B3/|B|, где |B|=sqrt(B1^2+ B2^2+ B3^2). А это значит, чтоcos (альфа)=B1|sqrt(B1^2+ B2^2+ B3^2), cos(бета) =B2|sqrt(B1^2+ B2^2+ B3^2), cos(гамма)= B3/sqrt(B1^2+ B2^2+ B3^2).
Инструкция 3: Свойство направляющих косинусов
Теперь нужно выделить основное свойство направляющих. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора всегда будет равна единице. Правда, что cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гамма)= B1^2|(B1^2+ B2^2+ B3^2)+ B2^2|(B1^2+ B2^2+ B3^2)+ B3^2/(B1^2+ B2^2+ B3^2) =(B1^2+ B2^2+ B3^2)|(B1^2+ B2^2+ B3^2) = 1.
Пример: Расчет направляющих косинусов
Например, дано: вектор B={1, 3, 5). Необходимо найти его направляющие косинусы. Решение задачи будет следующим: |B|= sqrt(Bx^2+ By^2+ Bz^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Ответ можно записать в таком виде: {cos(альфа), cos(бета), cos(гамма)}={1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35)}={0,16;0,5;0,84}.
Инструкция 4: Расчет направляющих косинусов с использованием скалярного произведения
Еще один способ нахождения. Когда вы пытаетесь найти направляющие косинусов вектора B, воспользуйтесь методикой скалярного произведения. Нам нужны углы между вектором B и направляющими векторами декартовых координат z, x и c. Их координаты {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}. Теперь узнайте скалярное произведение векторов: когда угол между векторами D, то произведение двух векторов– это число, равное произведению модулей векторов на cos D. (B, b) = |B||b|cos D. Если b=z, то (B, z) = |B||z|cos(альфа) или B1 = |B|cos(альфа). Далее все действия выполняются аналогично способу 1, с учетом координат x и c.
