Как найти направляющие косинусы вектора
Содержание:- Нахождение направляющих косинусов вектора
- Инструкция 1
- Свойства направляющих косинусов
- Первый способ нахождения направляющих косинусов
- Второй способ нахождения направляющих косинусов
- Аналогичные действия выполняются для векторов j и k.
Нахождение направляющих косинусов вектора
Для того чтобы найти направляющие косинусы вектора, нам понадобятся бумага и ручка.
Инструкция 1
В декартовой прямоугольной системе координат, координаты вектора а равны проекциям этого вектора на координатные оси. Обозначим эти проекции как a1, a2 и a3.
Тогда, согласно формулам, a1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета) и a3 = |a|cos(гамма), где |a| - длина вектора а.
Для нахождения направляющих косинусов, мы можем переписать эти формулы следующим образом: cos(альфа) = a1/|a|, cos(бета) = a2/|a| и cos(гамма) = a3/|a|.
Кроме того, длина вектора а может быть найдена с помощью формулы |a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2).
Таким образом, направляющие косинусы вектора а выражаются следующим образом: cos(альфа) = a1/√(a1^2 + a2^2 + a3^2), cos(бета) = a2/√(a1^2 + a2^2 + a3^2) и cos(гамма) = a3/√(a1^2 + a2^2 + a3^2).
Свойства направляющих косинусов
Одно из основных свойств направляющих косинусов вектора - сумма квадратов этих косинусов равна единице.
Действительно, cos^2(альфа) + cos^2(бета) + cos^2(гамма) = (a1^2/(a1^2 + a2^2 + a3^2)) + (a2^2/(a1^2 + a2^2 + a3^2)) + (a3^2/(a1^2 + a2^2 + a3^2)) = (a1^2 + a2^2 + a3^2)/(a1^2 + a2^2 + a3^2) = 1.
Первый способ нахождения направляющих косинусов
Для примера, рассмотрим вектор а = {1, 3, 5}. Найдем его направляющие косинусы.
По формуле, длина вектора а равна |a| = √(1^2 + 3^2 + 5^2) = √35 ≈ 5.91.
Тогда, направляющие косинусы вектора а можно выразить как {cos(альфа), cos(бета), cos(гамма)} = {1/√35, 3/√35, 5/√35} ≈ {0.16, 0.5, 0.84}.
Второй способ нахождения направляющих косинусов
Для нахождения направляющих косинусов вектора а, можно использовать метод скалярного произведения.
Углы между вектором а и направляющими единичными векторами i, j и k равны соответственно 0, 0 и 0 градусов.
Тогда, скалярное произведение вектора а с указанными векторами равно произведению модулей векторов на cos углов между ними.
Для примера, если угол между векторами а и i равен альфа, то (а, i) = |a||i|cos(альфа), или a1 = |a|cos(альфа).
Аналогичные действия выполняются для векторов j и k.
Таким образом, методика определения направляющих косинусов вектора а с помощью скалярного произведения аналогична первому способу, но с использованием координат i, j и k.