Как найти нормальный вектор к плоскости
Нормальный вектор плоскости
Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.
Вычисление нормального вектора
Чтобы вычислить нормальный вектор плоскости, нужно знать три точки, принадлежащие этой плоскости. Обозначим эти точки как K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm) и P(xp;yp;zp). Для начала составим уравнение плоскости, используя произвольную точку на ней, обозначим ее как L с координатами (x;y;z).
Затем рассмотрим три вектора PK, PM и PL, которые лежат на одной плоскости. Поскольку они компланарны, их смешанное произведение равно нулю.
Определение нормального вектора: пример
Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания. Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Наша задача - найти нормальный вектор плоскости.
Возьмем произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислим векторы PK, PM и PL:
- PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
- PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
- PL = (x-1;y-8;z-1)
Далее составим определитель для смешанного произведения векторов. Разложим его по первой строке и подсчитаем значения определителей размера 2 на 2.
Таким образом, уравнение плоскости будет -10x + 5y - 15z - 15 = 0, что эквивалентно -2x + y - 3z - 3 = 0. Отсюда можно легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).
