Понятие кратности в математике сопутствует операции деления. Общим кратным двух целых чисел является число, которое делится оба с нулевым остатком. Например, для чисел 3 и 5 кратными будут 15, 30, 45, 60 и т.д.
На практике чаще определяют не все числа, кратные данным, а только минимальные, к примеру, для приведения дробей к одному знаменателю. Для простых чисел оптимальным результатом будет наименьшее общее кратное (НОК), равное их произведению. Когда числа составные, алгоритмов расчета НОК может быть два.
Вычисление НОК через наибольший общий делитель.Используйте этот алгоритм, если известен НОД или его легко найти. Вычислите отношение произведения двух чисел, взятое по модулю, к значению наибольшего общего делителя. Пример: найдите НОК для чисел 15 и 25. Здесь НОД очевиден, он равен 5, следовательно, НОК = |15•25|/5 = 75. Проверьте: 75/15 = 5; 75/25 = 3, решение верно.
Каноническое разложение.Применяйте этот метод, если затрудняетесь сделать выводы при первом взгляде на числа. Особенно это касается больших чисел, имеющих от 3 разрядов. Разложите их на простые множители в определенной степени:N1 = p1•i1•…•pn•in;N2 = p1•j1•…•pk•jk, где: N1 и N2 – заданные целые числа;pi – простые числа;i и j – максимальные степени.
Рассмотрите пример с подробным решением: определите НОК (64, 96).Решение.Представьте первое число 64 в виде канонического разложения. Подумайте, в какую степень нужно возвести простые множители, чтобы результат произведения был равен заданному числу. Очевидно, что 64 = 2^6.
Перейдите ко второму числу: 96 = 2^5•3¹. Представьте оба разложения таким образом, чтобы в них было одинаковое количество соответствующих множителей, при необходимости добавьте нулевую степень:64 = 2^6•3^096 = 2^5•3¹.
Найдите НОК, как результат общего канонического разложения, путем выбора множителей максимальных степеней:НОК (64, 96) = 2^6•3¹ = 192.
Разделите результат последовательно на 64 и 96 и убедитесь, что задача решена правильно: 192/64 = 3; 192/96 = 2.
