Как найти площадь фигуры ограниченной линиями
- Геометрический смысл определенного интеграла
- Определение интеграла
- Пример 1: Нахождение площади фигуры
- Пример 2: Вычисление площади фигуры
Геометрический смысл определенного интеграла
Определенный интеграл имеет геометрический смысл площади криволинейной трапеции. Это свойство позволяет найти площадь фигуры, ограниченной линиями, путем интегрирования разности функций на заданном интервале.
Определение интеграла
Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции. Если фигура ограничена двумя кривыми, заданными функциями f1(x) и f2(x), то площадь можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале [a, b], где a и b - граничные значения интервала.
Пример 1: Нахождение площади фигуры
Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямыми и параболой, необходимо построить графики всех линий и определить, какая линия находится выше. В данном случае, парабола находится выше прямой. Поэтому под знаком интеграла стоит разность между уравнением параболы и прямой. Интервал интегрирования - от x = 1 до x = 4. Вычисление интеграла проводится по закону Ньютона-Лейбница и результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала. В данном случае, площадь равна 13.
Пример 2: Вычисление площади фигуры
Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями и функцией корня, необходимо построить графики заданных линий. В этом случае, прямая линия проходит диагонально относительно координатных осей, а график функции корня - это положительная половина параболы. Точка пересечения линий будет нижним пределом интегрирования. Найдите точку пересечения, решив уравнение, и определите значения границы интервала. Площадь фигуры находится путем интегрирования разности функций на интервале [2, 7]. Вычисление интеграла дает результат равный 59/6.
