Как найти площадь разностороннего треугольника

Разносторонним треугольником называется такой треугольник, длины сторон которого не равны между собой. При этом подразумевается, что не равны также никакие две стороны (иначе треугольник получился бы равнобедренным). Для вычисления площади разностороннего треугольника используется несколько разных формул. Рассмотрены все основные варианты, которые могут встретиться на практике и при решении геометрических задач.
Вам понадобится

Чтобы найти площадь треугольника, умножьте длину его стороны на высоту (перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противоположной вершины) и разделите полученное произведение на два. В виде формулы данное правило выглядит следующим образом:

S = ½ * а * h,

где:
S – площадь треугольника,
а – длина его стороны,
h – высота, опущенной на эту сторону.

Длина стороны и высота должны быть представлены в одинаковых единицах измерения. При этом площадь треугольника получится в соответствующих «квадратных» единицах.

Пример.
На одну из сторон разностороннего треугольника длиной 20 см, опущен перпендикуляр из противоположной вершины длиной 10 см.
Требуется определить площадь треугольника.
Решение.
S = ½ *20 * 10 = 100 (см²).

Если известны длины двух любых сторон разностороннего треугольника и угол между ними, то воспользуйтесь формулой:

S = ½ * а * b * sinγ,

где: а, b – длины двух произвольных сторон, а γ – величина угла между ними.

На практике, например, при измерении площади земельных участков, использование вышеприведенных формул иногда бывает затруднительно, так как требует дополнительных построений и измерения углов.

Если вам известны длины всех трех сторон разностороннего треугольника, то воспользуйтесь формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

где:

a, b, c – длины сторон треугольника,
р – полупериметр: p = (a+b+c)/2.

Если кроме длин всех сторон известен радиус вписанной в треугольник окружности, то воспользуйтесь следующей компактной формулой:

S= p * r,

где: r – радиус вписанной окружности (р – полупериметр).

Для вычисления площади разностороннего треугольника через радиус описанной окружности и длины его сторон, используйте формулу:

S = abc/4R,

где: R – радиус описанной окружности.

Если известна длина одной из сторон треугольника и величины трех углов (в принципе, достаточно двух – величина третьего вычисляется из равенства суммы трех углов треугольника - 180º), то воспользуйтесь формулой:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

где α – величина противолежащего стороне а угла;
β, γ – величины остальных двух углов треугольника.