Главная Войти О сайте

Как найти производную неявной функции

Как найти производную неявной функции

Содержание:
  1. Дифференцирование неявных функций
  2. Алгоритм дифференцирования неявных функций
  3. Пример дифференцирования неявной функции
  4. Дифференцирование неявных функций с несколькими переменными
  5. 2. Аналогично найдите производные F'x2, ..., F'xn, F'z.
  6. Пример дифференцирования неявной функции с несколькими переменными

Дифференцирование неявных функций

Функции могут быть заданы явно или неявно. В случае, когда функция не может быть выражена явно через независимые переменные, она считается заданной неявно. Для дифференцирования неявных функций существует специальный алгоритм.

Алгоритм дифференцирования неявных функций

1. Переведите неявную функцию в вид уравнения F(x, y) = 0, где y - зависимая переменная.

2. Дифференцируйте полученное уравнение по переменной x, учитывая, что y является дифференцируемой функцией от x. Используйте правила дифференцирования сложной функции.

3. Решите полученное уравнение относительно производной y'(x). Это будет являться производной неявно заданной функции по переменной x.

Пример дифференцирования неявной функции

Рассмотрим пример неявной функции, заданной уравнением y = cos(x - y). Приведем уравнение к виду y - cos(x - y) = 0. После дифференцирования получим y' + sin(x - y) - y' * sin(x - y) = 0. Затем решим это уравнение относительно y': y' * (1 - sin(x - y)) = -sin(x - y). В результате получим, что y'(x) = sin(x - y) / (sin(x - y) - 1).

Дифференцирование неявных функций с несколькими переменными

Для дифференцирования неявных функций с несколькими переменными можно использовать аналогичный алгоритм. Пусть задана функция z(x1, x2, ..., xn) в неявной форме уравнением F(x1, x2, ..., xn, z) = 0.

1. Найдите производную F'x1, считая все переменные, кроме x1, постоянными.

2. Аналогично найдите производные F'x2, ..., F'xn, F'z.

3. Выразите частные производные в виде z'x1 = -F'x1 / F'z, z'x2 = -F'x2 / F'z, ..., z'xn = -F'xn / F'z.

Пример дифференцирования неявной функции с несколькими переменными

Пусть задана функция двух неизвестных z = z(x, y) формулой 2x²z - 2z² + yz² = 6x + 6z + 5. Приведем уравнение к виду F(x, y, z) = 0: 2x²z - 2z² + yz² - 6x - 6z - 5 = 0.

Найдем производную F'x, считая y и z постоянными: F'x = 4xz - 6. Аналогично найдем производные F'y = z² и F'z = 2x² - 4z + 2yz - 6.

Тогда z'x = -(6 - 4xz) / (2x² - 4z + 2yz - 6), а z'y = -z² / (2x² - 4z + 2yz - 6).

Запись F'x означает вычисление частной производной функции F по переменной x.


CompleteRepair.Ru