Эврика!

Регистрация

Как найти производную неявной функции

Функции задаются соотношением независимых переменных. В случае, если уравнение, задающее функцию, не разрешимо относительно переменных, то функция считается заданной неявно. Для дифференцирования неявных функций существует особый алгоритм.Как найти производную неявной функции

Рассмотрите неявную функцию, заданную некоторым уравнением. При этом невозможно выразить зависимость y(x) в явном виде. Приведите уравнение к виду F(x, y)=0. Чтобы найти производную y'(x) от неявной функции, сначала продифференцируйте уравнение F(x, y)=0 по отношению к переменной x, учитывая, что y дифференцируема по x. Используйте правила вычисления производной сложной функции.

Решите полученное после дифференцирования уравнение относительно производной y'(x). Итоговая зависимость и будет производной неявно заданной функции по переменной x.

Изучите пример для наилучшего понимания материала. Пусть функция задана в неявной форме как y=cos(x−y). Приведите уравнение к виду y−cos(x−y)=0. Продифференцируйте это уравнения по переменной x, применяя правила дифференцирования сложной функции. Получаем, y'+sin(x−y)×(1−y')=0, т.е. y'+sin(x−y)−y'×sin(x−y)=0. Теперь решите полученное уравнение относительно y': y'×(1−sin(x−y))=−sin(x−y). В итоге получается, что y'(x)=sin(x−y)÷(sin(x−y)−1).

Найдите производную неявной функции нескольких переменных следующим образом. Пусть задана функция z(x1, x2, …, xn) в неявной форме уравнением F(x1, x2,…, xn, z)=0. Найдите производную F'|x1, считая переменные x2, …, xn, z постоянными. Аналогично вычислите производные F'|x2, …, F'|xn, F'|z. После этого выразите частные производные в виде z'|x1=−F'|x1÷F'|z, z'|x2=−F'|x2÷F'|z, …, z'|xn=−F'|xn÷F'|z.

Рассмотрите пример. Пусть задана функция двух неизвестных z=z(x, y) формулой 2x²z−2z²+yz²=6x+6z+5. Приведите уравнение к виду F(x, y, z)=0: 2x²z−2z²+yz²−6x−6z−5=0. Найдитепроизводную F'|x, считая y, z постоянными: F'|x=4xz−6. Аналогично, производная F'|y=z², F'|z=2x²-4z+2yz−6. Тогда z'|x=−F'|x÷F'|z=(6−4xz)÷(2x²−4z+2yz−6), а z'|y=−F'|y÷F'|z=−z²÷(2x²−4z+2yz−6).

© CompleteRepair.Ru