Как найти расстояние между прямыми на плоскости
- Расстояние между параллельными прямыми
- Уравнения прямых на плоскости
- Основные уравнения прямой на плоскости имеют несколько форм:
- Нахождение расстояния между параллельными прямыми
- Пример
Расстояние между параллельными прямыми
Для нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости необходимо использовать методы аналитической геометрии. Это позволит точно рассчитать нужное расстояние без использования иллюстраций.
Уравнения прямых на плоскости
Основные уравнения прямой на плоскости имеют несколько форм:
- Уравнение прямой в виде графика линейной функции: y = kx + b.
- Общее уравнение прямой: Ax + By + D = 0, где n = {A, B} - вектор нормали к прямой.
- Каноническое уравнение прямой: (x - x0) / m = (y - y0) / n. Здесь (x0, y0) - любая точка на прямой, {m, n} = s - координаты ее направляющего вектора s.
Если ищется перпендикулярная прямая, заданная общим уравнением, то s = n.
Нахождение расстояния между параллельными прямыми
Предположим, что первая из параллельных прямых f1 задана уравнением y = kx + b1. Переведя это выражение в общий вид, получим kx - y + b1 = 0, что соответствует A = k и B = -1. Нормаль к этой прямой будет n = {k, -1}.
Далее нужно выбрать произвольное значение x1 на f1. Тогда ордината y1 будет равна kx1 + b1. Пусть уравнение второй параллельной прямой f2 имеет вид y = kx + b2, где k одинаков для обеих прямых.
Для нахождения перпендикулярной прямой, проходящей через точку M (x1, y1), нужно составить каноническое уравнение, положив x0 = x1, y0 = y1 и s = {k, -1}. Получим уравнение (x - x1) / k = (y - kx1 - b1) / (-1).
Решив систему уравнений, состоящую из уравнений (1) и (2), найдем вторую точку N (x2, y2), определяющую искомое расстояние между параллельными прямыми. Само расстояние будет равно d = |MN| = ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)^1/2.
Пример
Рассмотрим уравнения двух параллельных прямых на плоскости: f1 - y = 2x + 1 и f2 - y = 2x + 5.
Выберем произвольное значение x1 = 1 на f1. Тогда y1 = 3. Таким образом, первая точка будет иметь координаты M (1, 3).
Уравнение общего перпендикуляра будет иметь вид y = -(1/2)x + 5/2. Подставив это значение y в уравнение f1, получим -(1/2)x + 5/2 = 2x + 5. Решив это уравнение, найдем x2 = -1 и y2 = 3. Вторая точка, определяющая расстояние между параллельными прямыми, будет иметь координаты N (-1, 3).
Расстояние между этими прямыми составит d = |MN| = ((3 - 1)^2 + (3 + 1)^2)^1/2 = (4 + 16)^1/2 = 4.47.
Таким образом, используя методы аналитической геометрии, мы можем точно рассчитать расстояние между параллельными прямыми на плоскости без необходимости использования иллюстраций.
