Эврика!

Регистрация

Как найти уравнение касательной к графику функции

Эта инструкциясодержит ответ на вопрос, как найти уравнение касательной к графику функции.Приведена исчерпывающая справочная информация. Применение теоретических выкладок разобрано наконкретном примере.Как найти уравнение касательной к графику функции

Справочный материал.
Для начала дадим определение касательной.Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.

Найдем уравнение касательной кграфику функции y = f(x).

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющаясобой график функции y = f(x), непрерывнав некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Проведем секущую MN1, образующую с положительным направлением оси Ox угол α.
Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y).


Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей:

tg α =Δy/Δx

MN = ∆x
NN1 = ∆y

При стремлении точки N1 по кривой к точке M секущая MN1 поворачивается вокруг точкиM, причем уголα стремится к углу ϕ между касательной MT и положительным направлением осиOx.

k = tg ϕ =〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖〗Δy/Δx= f`(x)

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. В этом заключается геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке М имеет вид:

y - y0 = f`(x0) (x - x0),
где (x0; y0) – координаты точки касания,
(x; y) – текущие координаты, т.е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,
f`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.

Найдем уравнение касательнойна примере.

Данграфик функции y=x2 – 2x. Нужно найти уравнение касательнойв точке с абсциссой x0 = 3.

Из уравнения данной кривой находим ординату точки касания y0 = 32 - 2∙3 = 3.

Находим производную, а затем вычисляем ее значение в точке x0 = 3.
Имеем:
y`=2x – 2
f`(3) = 2∙3 – 2 = 4.

Теперь, зная точку(3; 3) на кривой и угловой коэффициент f`(3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнение:
y – 3 = 4 (x – 3)
или
y – 4x + 9 = 0

© CompleteRepair.Ru