Как написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
Первый случай: Прямая на плоскости
В данном случае рассматривается простейшая задача поиска уравнения перпендикулярной прямой, проходящей через заданную точку на плоскости. Для начала необходимо выразить уравнение искомой прямой в виде y=cx+d, используя геометрический смысл коэффициента k, который является тангенсом угла наклона прямой к оси абсцисс. Тогда c=-1/k.
Затем, используя координаты заданной точки M(m, n), уточняем значение коэффициента d. Уравнение n=-(1/k)m+d позволяет найти d, затем можно составить ответ в виде y=-(1/k)x+n-(1/k)m.
Второй случай: Прямая и плоскость в пространстве
Рассмотрим более сложную задачу, когда имеется прямая в пространстве и требуется найти уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через заданную точку. Для начала необходимо привести уравнение данной прямой к каноническому виду: (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p, где M0(x0, y0, z0) - произвольная точка на прямой, а s={m,n,p} - ее направляющий вектор.
Затем необходимо найти плоскость α, которая перпендикулярна прямой и содержит заданную точку M(a, b, c). Для этого используем общее уравнение прямой A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0, где n={A,B,C} совпадает с вектором s. Таким образом, уравнение плоскости α будет m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0.
Далее решаем систему уравнений (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p и m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0, чтобы найти точку пересечения плоскости α и прямой. В процессе решения появится величина u, которая будет одинаковой для всех искомых координат: u = [m(x0-a)+n(y0-b)+p(z0-c)]/(m^2+n^2+p^2). Тогда решение будет иметь вид x1=x0-mu, y1=y0-nu, z1=z0-pu.
На данном этапе для поиска перпендикулярной прямой ℓ необходимо найти ее направляющий вектор g=M1M={x1-a,y1-b,z1-c}={х0-mu-a,y0-nu-b,z0-pu-c}. Полученные координаты этого вектора могут быть обозначены как m1=х0-mu-a, n1=y0-nu-b, p1=z0-pu-c, и ответ будет иметь вид ℓ: (x-a)/(х0-mu-a)=(y-b)/(y0-nu-b)=(z-c)/(z0-pu-c).