Как определить вид дифференциального уравнения

Содержание:

1. Определение видов дифференциальных уравнений
2. Необходимость в дифференциальных уравнениях
3. Простейшие виды дифференциальных уравнений
4. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
5. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
6. Дифференциальные уравнения высших порядков
7. Приведение дифференциальных уравнений к каноническим типам

Определение видов дифференциальных уравнений

Определение видов дифференциальных уравнений является важным шагом для выбора соответствующего метода решения. Существует большая классификация видов дифференциальных уравнений, а решение основывается на методах интегрирования.

Необходимость в дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения возникают в ситуациях, когда известны свойства функции, но сама функция остается неизвестной. Такая ситуация часто возникает при исследовании физических процессов. Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, и единственным способом найти функцию является интегрирование. Перед решением уравнения необходимо определить его вид.

Простейшие виды дифференциальных уравнений

Существует несколько простейших видов дифференциальных уравнений. Один из них - это уравнение вида у’ = f(х), где у’ - производная функции у по х. Также можно привести уравнение к виду у’ = g(х)/f(х), при условии, что f(х) не равно нулю. Пример: 3^х•у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так, потому что производная у’ разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равенства. Это уравнения вида f(у)•dу = g(х)•dх. Пример: (у² – sin у)•dу = tg х/(х - 1)•dх.

Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения

Простейшие виды дифференциальных уравнений относятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ). Однако, уравнения первого порядка могут быть и более сложными и неоднородными. Такие уравнения называются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями (ЛНДУ). Примеры ЛНДУ: у’ + f(х)•у = g(х) и у’ + f(х)•у = g(х)•у^a.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков подразделяются на три подвида: допускающие понижение порядка, уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения с коэффициентами в виде функций аргумента х. Примеры таких уравнений: у’’’•х – 4•у² = у’ - 2 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.

Приведение дифференциальных уравнений к каноническим типам

Иногда вид конкретного дифференциального уравнения неочевиден. В таком случае необходимо внимательно рассмотреть уравнение для приведения его к одному из канонических типов и применения соответствующего метода решения. Для этого можно использовать методы замены и разложения производной на составляющие у’ = dу/dх.