Как по косинусу найти сторону треугольника
- Формулы вычисления сторон треугольника при известном косинусе угла
- Формула теоремы косинусов
- a² = b² + c² - 2*a*b*cos(α)
- Использование переменной для косинуса угла
- a² = b² + c² - 2*a*b*f
- Для упрощения формулы, избавимся от степени в левой части:
- a = √(b²+c²-2*a*b*f)
- Формула теоремы синусов
- a/sin(a) = b/sin(β)
- Выражение синуса через косинус
- a/√(1-f²) = b/sin(β)
- a = √(1-f²)*b/sin(β)
- Вычисление сторон в прямоугольном треугольнике
- b = f*c
- c = b/f
Формулы вычисления сторон треугольника при известном косинусе угла
Знание значения косинуса угла в вершине произвольного треугольника позволяет найти величину этого угла. Но для вычисления длины стороны треугольника требуются дополнительные параметры, связанные с ним. В данной статье мы рассмотрим формулы, которые позволят нам найти длину стороны треугольника при известном косинусе угла.
Формула теоремы косинусов
Если кроме значения косинуса угла известны длины двух сторон (b и c), образующих этот угол, для вычисления неизвестной стороны (a) можно использовать теорему косинусов. Формула теоремы косинусов гласит:
a² = b² + c² - 2*a*b*cos(α)
Использование переменной для косинуса угла
Если величина угла α неизвестна и ее вычислять не требуется, мы можем обозначить значение косинуса угла какую-либо переменную (например, f) и подставить ее в формулу:
a² = b² + c² - 2*a*b*f
Для упрощения формулы, избавимся от степени в левой части:
a = √(b²+c²-2*a*b*f)
Формула теоремы синусов
Чтобы найти длину стороны (a), при условии, что кроме значения косинуса (f = cos(α)) лежащего напротив этой стороны угла, дана величина другого угла (β) и длина лежащей напротив нее стороны (b), мы можем использовать теорему синусов. Формула теоремы синусов имеет вид:
a/sin(a) = b/sin(β)
Выражение синуса через косинус
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Мы можем использовать это тождество, чтобы выразить синус в левой части формулы через заданный в условиях косинус:
a/√(1-f²) = b/sin(β)
Выразим длину искомой стороны в общем виде, перенося знаменатель дроби из левой части в правую:
a = √(1-f²)*b/sin(β)
Вычисление сторон в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике для вычисления сторон достаточно знать косинус одного из острых углов (f = cos(α)) и длину какой-либо из сторон. Для вычисления длины катета (b), примыкающего к вершине с известным косинусом угла, умножим эту величину на длину гипотенузы (c):
b = f*c
Если нужно найти длину гипотенузы, а длина катета известна, формула будет выглядеть следующим образом:
c = b/f
Теперь, имея эти формулы, вы можете легко вычислить длину сторон треугольника при известном косинусе угла.