Как посчитать интерполяцию
- Задача интерполяции и аппроксимации функции
- Представление функции в виде таблицы
- Интерполирующая функция и интерполируемая функция
- Выбор параболической интерполяции
- Нахождение многочлена интерполяции
- Пример четырехточечной задачи интерполяции
- Решение системы уравнений методом Гаусса
- Ответ и интерполирующая функция
- Итак, интерполирующая функция (многочлен) g(x)=3x^3-4x^2-6x+2.
Задача интерполяции и аппроксимации функции
Задача интерполяции является частным случаем задачи аппроксимации функции f(x) функцией g(x). Вопрос состоит в построении для заданной функции y=f(x) такой функции g(x), что приблизительно f(x)=g(x).
Представление функции в виде таблицы
Представьте себе, что функция y=f(x) на отрезке [a,b] задана таблично (см. рис. 1). Данные таблицы чаще всего содержат опытные данные. Аргумент записывается в порядке возрастания (см. рис. 1). Здесь числа xi (i=1,2,…,n) называют точками согласования f(x) с g(x) или просто узлами.
Интерполирующая функция и интерполируемая функция
Функция g(x) называется интерполирующей для f(x), а сама f(x) интерполируемой, если ее значения в узлах интерполяции xi (i=1,2,…,n) совпадают с заданными значениями функции f(x), то есть выполняются равенства: g(x1)=y1, g(x2)=y2,…, g(xn)=yn. (1) Итак, определяющее свойство – совпадение f(x) и g(x) в узлах (см. рис. 2).
Выбор параболической интерполяции
В прочих точках может происходить что угодно. Так, если интерполирующая функция содержит синусоиды (косинусоиды), то отклонение от f(х) может быть весьма существенным, что маловероятно. Поэтому используются параболические (точнее, полиномиальные) интерполяции.
Нахождение многочлена интерполяции
Для функции, заданной таблицей, осталось найти многочлен наименьшей степени Р(х) такой, чтобы выполнялись условия интерполяции (1): P(xi)=yi, i=1,2,…,n. Можно доказать, что степень такого многочлена не превышает (n-1). Для того чтобы избежать путаницы, далее задачу будем решать на конкретном примере четырехточечной задачи.
Пример четырехточечной задачи интерполяции
Пусть узловые точки: x1=-1, x2=1, x3=3, x4=5. y1=y(-1)=1, y2=y(1)=-5, y3=y(3)=29, y4=y(5)=245. В связи с изложенным выше, искомую интерполяцию следует искать в виде P3(x). Запишите искомый многочлен в виде P3(3)=ax^3+bx^2+cx+d и составьте систему уравнений (в числовой форме) a(xi)^3+b(xi)^2+c(xi)+d=yi (i=1, 2, 3, 4) относительно a, b, c, d (см. рис. 3).
Решение системы уравнений методом Гаусса
Получилась система линейных уравнений. Решите ее любым известным вам способом (проще всего методом Гаусса). В данном примере ответ: a=3, b=-4, c=-6, d=2.
