Как построить развертку усеченного конуса
- Развертка: понятие и инструменты
- Пример построения развертки усеченного конуса
- Вписывание многогранника в конус
- Построение развертки
- Построение развертки боковой поверхности
- Построение развертки боковой поверхности
- Получение развертки
- Заключение
Развертка: понятие и инструменты
Развертка – это поверхность геометрического тела, развернутая на плоскости. Для построения развертки любой поверхности необходимо последовательно совместить все плоские ее элементы с одной плоскостью. Для этого нам понадобятся определенные инструменты, такие как карандаш, циркуль, лекала, треугольник и линейка.
Пример построения развертки усеченного конуса
Боковая поверхность усеченного конуса, будучи кривой поверхностью, не имеет плоских элементов. Однако, для получения приближенной развертки, можно выполнить следующие построения.
Вписывание многогранника в конус
Для начала, на горизонтальной проекции окружности нижнего основания конуса, разделим ее на дуги с помощью точек 1₁2₁, 2₁3₁ и так далее. То же самое проделываем с окружностью верхнего основания, разделяя ее на дуги 6₁7₁, 7₁8₁ и так далее. Затем соединяем эти дуги хордами. В результате получаем вписанный в усеченный конус восьмигранный многогранник. Грани этого многогранника представляют собой трапеции, у которых стороны основания – хорды 1₁2₁, 6₁7₁ и т.д., а две другие противоположные стороны – боковые ребра 1₁6₁, 2₁7₁ и т.д. Эти грани-трапеции являются плоскими элементами, которые будут совмещены с плоскостью чертежа при развертке.
Построение развертки
В каждой грани многогранника проводим диагонали, разделяющие их на два треугольника. Одна из таких диагоналей, например, диагональ 1₁7₁, определяет натуральную величину с помощью прямоугольного треугольника. Для этого отмечаем высоту фронтальной проекции усеченного конуса и откладываем горизонтальную проекцию диагонали 1₁7₁ под прямым углом к высоте. Полученная гипотенуза будет равна натуральной величине диагонали 17.
Построение развертки боковой поверхности
Важно отметить, что при построении развертки все размеры должны иметь натуральную величину. В грани многогранника 1672 все элементы представлены без искажения: натуральная величина ребра 16 равна его фронтальной проекции 1₂6₂, хорды 67 (6₁7₁), 12 (1₁2₁) спроектировались в натуральную величину на плоскость П₁. Натуральная величина диагонали 1₀7₁ найдена с помощью прямоугольного треугольника.
Построение развертки боковой поверхности
Для построения развертки боковой поверхности пирамиды, вписанной в усеченный конус, следует выполнить следующие шаги. На вертикальной прямой (или прямой произвольного положения) откладываем отрезок 1₀6₀, который равен фронтальной проекции 1₂6₂. Затем, из точки 6₀ радиусом 6₁7₁ делаем засечку, а из точки 1₀ радиусом 1₀7₁ (натуральной величины диагонали 17) делаем вторую засечку. Полученную точку 7₀ соединяем прямыми линиями с точками 1₀ и 6₀. Из точки 1₀ делаем засечку радиусом 1₀2₀, который равен фронтальной проекции 1₁2₁, а из точки 7₀ делаем засечку радиусом 7₀2₀. Полученную точку 2₀ соединяем прямыми линиями с точками 1₀ и 7₀. Таким образом, построенная трапеция 1₀6₀7₀2₀ является совмещенной с плоскостью чертежа гранью пирамиды, вписанной в усеченный конус.
Получение развертки
Все грани вписанной пирамиды равны между собой, поэтому, используя те же размеры, можно построить все смежные грани и соединить точки 1₀, 2₀, 3₀ и так далее. Полученная плоская фигура будет разверткой боковой поверхности пирамиды, вписанной в усеченный конус.
Заключение
Соединив построенные точки нижнего и верхнего основания усеченного конуса лекальной кривой линией, мы получим окончательную развертку усеченного конуса. Обратите внимание, что в данном примере вторая половина развертки симметрична построенной и выполняется по тем же размерам. Развертка – это важный инструмент в геометрии, который позволяет представить поверхность тела в виде плоской фигуры и использовать ее в различных расчетах и построениях.
