Главная Войти О сайте

Как рассчитать математическое ожидание

Математическое ожидание в теории вероятностей – среднее значение случайной величины, которое является распределением ее вероятностей. Фактически расчет математического ожидания величины или события – это прогноз его наступления в некотором вероятностном пространстве.Как рассчитать математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины – одна из важнейших ее характеристик в теории вероятности. Это понятие связано с распределением вероятностей величины и является ее средним ожидаемым значением, вычисляемым по формуле:M = ∫xdF(x), где F(x) – функция распределения случайной величины, т.е. функция, значение которой в точке х является ее вероятностью; х принадлежит множеству X значений случайной величины.

Приведенная формула носит название интеграла Лебега-Стилтьеса и основывается на методе разбиения области значений интегрируемой функции на интервалы. Затем подсчитывается интегральная сумма.

Математическое ожидание дискретной величины прямо следует из интеграла Лебега-Стильтьеса:М = Σx_i*p_i на интервале i от 1 до ∞, где x_i – значения дискретной величины, p_i – элементы множества ее вероятностей в этих точках. При этом Σp_i = 1 при I от 1 до ∞.

Математическое ожидание целочисленной величины может быть выведено через производящую функцию последовательности. Очевидно, что целочисленная величина является частным случаем дискретной и имеет следующее распределение вероятностей:Σp_i = 1 при I от 0 до ∞ где p_i = P (x_i) – распределение вероятностей.

Для того, чтобы рассчитать математическое ожидание, необходимо продифференцировать P при значении х, равном 1:P’(1) = Σk*p_k для k от 1 до ∞.

Производящая функция – это степенной ряд, сходимость которого определяет математическое ожидание. При расхождении этого ряда математическое ожидание равно бесконечности ∞.

Для упрощения расчета математического ожидания приняты некоторые его простейшие свойства:- математическое ожидание числа есть само это число (константа);- линейность: M(a*x + b*y) = a*M(x) + b*M(y);- если x ≤ y и M(y) – конечная величина, то математическое ожидание х также будет конечной величиной, причем M(x) ≤ M(y);- для x = y M(x) = M(y);- математическое ожидание произведения двух величин равно произведению их математических ожиданий: M(x*y) = M(x)*M(y).


CompleteRepair.Ru