Как рассчитать математическое ожидание
- Математическое ожидание в теории вероятностей
- Определение и расчет математического ожидания
- Интеграл Лебега-Стилтьеса
- Математическое ожидание дискретной и целочисленной величины
- Производящая функция и сходимость ряда
- Свойства математического ожидания
- Расчет математического ожидания в азартных играх
Математическое ожидание в теории вероятностей
Математическое ожидание в теории вероятностей – среднее значение случайной величины, которое является распределением ее вероятностей. Фактически расчет математического ожидания величины или события – это прогноз его наступления в некотором вероятностном пространстве.
Определение и расчет математического ожидания
Математическое ожидание случайной величины – одна из важнейших ее характеристик в теории вероятности. Это понятие связано с распределением вероятностей величины и является ее средним ожидаемым значением. Расчет математического ожидания основывается на формуле:M = ∫xdF(x), где F(x) – функция распределения случайной величины, х – значения случайной величины.
Интеграл Лебега-Стилтьеса
Приведенная формула для расчета математического ожидания носит название интеграла Лебега-Стилтьеса и основывается на методе разбиения области значений интегрируемой функции на интервалы. Затем подсчитывается интегральная сумма.
Математическое ожидание дискретной и целочисленной величины
Математическое ожидание дискретной величины выражается через интеграл Лебега-Стильтьеса. Для дискретной величины формула выглядит следующим образом: М = Σx_i*p_i, где x_i – значения дискретной величины, p_i – элементы множества ее вероятностей.
Целочисленная величина является частным случаем дискретной, поэтому ее математическое ожидание может быть выведено через производящую функцию последовательности.
Производящая функция и сходимость ряда
Производящая функция – это степенной ряд, сходимость которого определяет математическое ожидание. При расхождении этого ряда математическое ожидание равно бесконечности.
Свойства математического ожидания
Для упрощения расчета математического ожидания приняты некоторые его простейшие свойства:
- Математическое ожидание числа есть само это число (константа).
- Линейность: M(a*x + b*y) = a*M(x) + b*M(y).
- Если x ≤ y и M(y) – конечная величина, то математическое ожидание х также будет конечной величиной, причем M(x) ≤ M(y).
- Для x = y M(x) = M(y).
- Математическое ожидание произведения двух величин равно произведению их математических ожиданий: M(x*y) = M(x)*M(y).
Расчет математического ожидания в азартных играх
Расчет математического ожидания широко применяется в азартных играх, в частности в покере. Оно равно средней выгоде того или иного решения игрока, а успех заключается в выборе шагов только с положительным его значением.
