Как решать матрицу методом гаусса

Содержание:

1. Определение совместности системы уравнений
2. Приведение расширенной матрицы к нужному виду
3. Обнуление нижних элементов матрицы
4. Приведение второй строки к нужному виду
5. Обнуление нижних элементов матрицы второй строки
6. Продолжение образования единичек и обнуления элементов матрицы
7. Приведение к верхнетреугольному виду
8. Обнуление элементов выше главной диагонали
9. Запись решения заданной матрицы

Решение матрицы в классическом варианте с использованием метода Гаусса

Метод Гаусса является классическим способом нахождения решения матрицы. Он основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, включающей столбец свободных членов. При этом преобразования матрицы приводят к формированию ступенчатой или треугольной матрицы, где все коэффициенты, кроме свободных членов, над главной диагональю равны нулю.

Определение совместности системы уравнений

Для определения совместности системы уравнений необходимо вычислить ранг основной матрицы А, исключая столбец свободных членов. Затем добавьте столбец свободных членов и вычислите ранг получившейся расширенной матрицы В. Если ранг отличен от нуля, то система имеет решение. При равных значениях рангов существует единственное решение.

Приведение расширенной матрицы к нужному виду

Для приведения расширенной матрицы к виду, где по главной диагонали располагаются единицы, а ниже нее все элементы равны нулю, необходимо разделить первую строку матрицы на ее первый элемент. Таким образом, первый элемент главной диагонали станет равен единице.

Обнуление нижних элементов матрицы

Для обнуления нижних элементов матрицы в первом столбце нужно отнять первую строку от всех нижних строк. Сначала первую строку умножаем на первый элемент второй строки и отнимаем. Затем аналогично умножаем первую строку на первый элемент третьей строки и отнимаем. Это продолжается для всех строк матрицы.

Приведение второй строки к нужному виду

Для приведения второй строки к нужному виду, во втором столбце ее элемент и следующий элемент главной диагонали должны быть равны единице. Для этого нужно разделить вторую строку на коэффициент во втором столбце.

Обнуление нижних элементов матрицы второй строки

Аналогично предыдущему шагу, необходимо отнять вторую строку от всех нижних строк, чтобы обнулить нижестоящие элементы матрицы.

Продолжение образования единичек и обнуления элементов матрицы

После приведения второй строки к нужному виду, необходимо провести аналогичные операции для образования следующей единички на главной диагонали и обнуления нижестоящих коэффициентов матрицы. Это продолжается для всех последующих строк.

Приведение к верхнетреугольному виду

После выполнения предыдущих шагов, полученную матрицу можно привести к виду, где элементы над главной диагональю также равны нулю. Для этого необходимо отнять последнюю строку матрицы от всех вышестоящих строк, домножая на соответствующий коэффициент.

Обнуление элементов выше главной диагонали

Проводим аналогичное вычитание всех строк в порядке снизу вверх, пока все элементы выше главной диагонали не обратятся в ноль.

Запись решения заданной матрицы

Оставшиеся элементы в столбце свободных членов являются решением заданной матрицы. Запишите полученные значения.