Эврика!

Регистрация

пределы: как их посчитать

Значение любого выражения стремится к какому-либо пределу, величина которого является постоянной. Задачи на пределы весьма часто встречаются в курсе математического анализа. Их решение требует наличия ряда специфических знаний и навыков.пределы: как их посчитать

Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, равном нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если предел стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.

У пределов есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой аксиомы. Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;

- предел постоянной величины равен величине этой постоянной;

- предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;

- предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y

- постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;

- предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.

В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и производные этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен пример несложного предела:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите ответ:
lim 3+1/n/1+1/n=3

n→∞.

При решении задач на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное дифференцирование функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

x→0.

Вторым видом неопределенности считается неопределенность вида ∞/∞. Она часто встречается, например, при решении логарифмов. Ниже показан пример предела логарифма:
lim lnx/sinx=(∞/∞)=lim1/x/cosx=0

x→ ∞.

© CompleteRepair.Ru