Главная Войти О сайте

Как складывать логарифмы

Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень x, что при возведении числа a в степень x получается число b: log a(b) = x ↔ a^x = b.Свойства, присущие логарифмам чисел, позволяют сводить сложение логарифмов к умножению чисел.Как складывать логарифмыВам понадобится

Пусть имеется сумма двух логарифмов: логарифм числа b по основанию a – loga(b), и логарифм числа d по основанию числа c – logc(d). Эта сумма записывается как loga(b) + logc(d).
Вам могут помочь следующие варианты решения данной задачи. Во-первых, посмотрите, не является ли случай тривиальным, когда совпадают и основания логарифмов (a = c), и числа под знаком логарифмов (b = d). В этом случае складывайте логарифмы как обычные числа или неизвестные. Например, x + 5 * x = 6 * x. Так же и для логарифмов: 2 * log 2(8) + 3 * log 2(8) = 5 * log 2(8).

Далее, проверьте, не получится ли элементарно вычислить логарифм. Например, как в следующем примере: log 2(8) + log 5(25). Здесь первый логарифм вычисляется как log 2(8) = log 2(2^3). Т.е. в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 8 = 2^3. Ответ очевиден: 3. Аналогично и со следующим логарифмом: log 5 (25) = log 5 (5^2) = 2. Таким образом, вы получите сумму двух натуральных чисел: log 2(8) + log 5(25) = 3 + 2 = 5.

Если основания логарифмов равны, то вступает в силу свойство логарифмов, известное как «логарифм произведения». Согласно этому свойству сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равно логарифму произведения: loga(b) + loga(c) = loga(bc). Например, пусть дана сумма log 4(3) + log 4(5) = log 4(3 * 5) = log 4(15).

Если основания логарифмов суммы удовлетворяют следующему выражению a = c^n, то можно воспользоваться свойством логарифма со степенным основанием: log a^k(b) = 1/k * log a(b). Для суммы log a(b) + log c(d) = log с^n(b) + log c(d) = 1/n * log c(b) + log c(d). Таким образом логарифмы приводятся к общему основанию. Теперь необходимо избавиться от множителя 1/n перед первым логарифмом.
Для этого воспользуйтесь свойством логарифма степени: log a(b^p) = p * log a(b). Для данного примера получается, что 1/n * log c(b) = log c(b^(1/n)). Далее производится умножение по свойству логарифма произведения. 1/n * log c(b) + log c(d) = log c(b^(1/n)) + log c(d) = log c(b^(1/n) * d).

Воспользуйтесь следующим примером для наглядности. log 4(64) + log 2(8) = log 2^(1/2) (64) + log 2(8) = 1/2 log 2(64) + log 2 (8) = log 2 (64^(1/2)) + log 2(8) = log 2 (64^(1/2) * 8) = log 2 (64) = 6.
Так как данный пример легко вычисляется, проверьте полученный результат: log 4(64) + log 2(8) = 3 + 3 = 6.


CompleteRepair.Ru