Как решать неравенство
- Неравенства: особенности и методы решения
- Отличие неравенств от уравнений
- Решение неравенств
- Метод интервалов
- Итоговый ответ
- Неравенства для двух переменных
Неравенства: особенности и методы решения
Неравенства отличаются от уравнений не только знаком "больше"/"меньше", стоящим между выражениями. Здесь есть свои методы и свои подводные камни.
Отличие неравенств от уравнений
Неравенства имеют как ряд уникальных особенностей, так и черты, сходные с уравнениями. Одно из основных отличий накладывает как раз так знак "больше/меньше". Это означает, что при необходимости умножить обе части на какое-либо выражение (например, на знаменатель), мы должны четко знать его знак (и, конечно, тот факт, что оно не равно нулю). В частности, это нужно учитывать при возведении в квадрат - это ведь тоже умножение.
Посмотрим на простой пример. Очевидно, что 3<5. Умножим обе части на 2. 6<10. По-прежнему все верно. А теперь умножим на -2. Получим -12<-20. А вот это уже не верно. Просто так неравенства умножать на отрицательные числа или выражения нельзя. В этом случае знак неравенства нужно заменить на противоположный.
Решение неравенств
За исключением этого пункта, до определенного момента решаются неравенства так же, как и уравнения - приведение к общему знаменателю, поиск выколотых точек, перенос членов в левую часть, поиск корней и разложение на множители. Вот. Дошли до этого самого "определенного момента": разложение на множители. Далее пути решения уравнений и неравенств расходятся.
Метод интервалов
Для решения неравенств можно применять метод интервалов. Сначала рисуем числовую ось. Затем отмечаем на ней пустым кружочком и подписываем значения выколотых точек, а закрашенным - невыколотых. Далее начинаем узнавать знак неравенства в каждой из полученных областей.
Для этого берем любую точку из области и подставляем в неравенство на место x. В итоге получаем некоторое число. В зависимости от его знака пишем на числовой оси в данной области "+" или "-". Далее можно продолжить аналогичные действия для остальных областей.
Выбираем из всех областей те, чей знак соответствует нашему неравенству.
Итоговый ответ
В итоге получаем совокупность, которая в ответе записывается как "икс принадлежит..." - на месте многоточия стоят все подходящие области или точки. Выколотые точки на конце области обозначаются круглыми скобками - они не включаются в ответ, невыколотые - квадратными, и они включаются в ответ. Одиночные точки обозначаются фигурными скобками, а между областями и точками в ответе, так как это совокупность, ставится знак объединения ("U").
Неравенства для двух переменных
В неравенстве для двух переменных все аналогично, просто выполняется анализ значений не на числовой оси, а на плоскости.
