Главная Войти О сайте












Как решать по формуле Крамера

Метод Крамера представляет собой алгоритм, позволяющий решить систему линейных уравнений при помощи матрицы. Автор метода – Габриэль Крамер, живший в первой половине XVIII века.Как решать по формуле Крамера

Пусть задана некоторая система линейных уравнений. Ее необходимо записать в матричном виде. В основную матрицу пойдут коэффициенты перед переменными. Для записи дополнительных матриц нужны будут и свободные члены, располагающиеся обычно справа от знака равенства.

У каждой из переменных должен быть свой «порядковый номер». К примеру, во всех уравнениях системы на первом месте стоит x1, на втором – x2, на третьем – x3 и т.д. Тогда каждой из этих переменных будет соответствовать свой столбец в матрице.

Для применения метода Крамера необходимо, чтобы получившаяся матрица была квадратной. Этому условию соответствует равенство числа неизвестных и количества уравнений в системе.

Найдите детерминант основной матрицы Δ. Он должен быть ненулевым: лишь в этом случае решение системы будет единственным и однозначно определенным.

Чтобы записать дополнительный детерминант Δ(i), замените i-й столбец столбцом свободных членов. Число дополнительных определителей будет равняться числу переменных в системе. Вычислите все определители.

Из полученных определителей осталось лишь найти значение неизвестных. В общем виде, формула для нахождения переменных выглядит так: x(i) = Δ(i)/Δ.

Пример. Система, состоящая из трех линейных уравнений, содержащая три неизвестные x1, x2 и x3, имеет вид:a11•x1 + a12•x2 + a13•x3 = b1,a21•x1 + a22•x2 + a23•x3 = b2,a31•x1 + a32•x2 + a33•x3 = b3.

Из коэффициентов перед неизвестными запишите основной детерминант:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Вычислите его:Δ = a11•a22•a33 + a31•a12•a23 + a13•a21•a32 – a13•a22•a31 – a11•a32•a23 – a33•a12•a21.

Заменив первый столбец свободными членами, составьте первый дополнительный определитель:b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

Аналогичную процедуру проведите со вторым и третьим столбцами:a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

Вычислите дополнительные детерминанты:Δ(1) = b1•a22•a33 + b3•a12•a23 + a13•b2•a32 – a13•a22•b3 – b1•a32•a23 – a33•a12•b2.Δ(2) = a11•b2•a33 + a31•b1•a23 + a13•a21•b3 – a13•b2•a31 – a11•b3•a23 – a33•b1•a21.Δ(3) = a11•a22•b3 + a31•a12•b2 + b1•a21•a32 – b1•a22•a31 – a11•a32•b2 – b3•a12•a21.

Найдите неизвестные, запишите ответ:x1 = Δ(1)/Δ, x2 = Δ(2)/Δ, x3 = Δ(3)/Δ.


CompleteRepair.Ru