Как решать ряды
- Основы рядов в математическом анализе
- Изучение сходимости и расходимости числовых рядов
- Определение частичной суммы ряда и нахождение предела
- Геометрические ряды и их решение
- Необходимый признак сходимости рядов
- Решение ряда с положительными членами
- Дополнительные свойства рядов
- Полезные советы при решении рядов
Основы рядов в математическом анализе
Ряды являются основой математического анализа. Именно поэтому так важно научиться их правильно решать, так как в дальнейшем вокруг них будут крутиться остальные понятия.
Изучение сходимости и расходимости числовых рядов
При первом знакомстве с рядами порою весьма трудно понять, как они устроены. Тем более проблематично решать их. Но со временем вы наберетесь опыта и будете ориентироваться в данном вопросе. Первым делом необходимо начать с самого элементарного, а именно с изучения сходимости и расходимости числовых рядов. Данная тема является основополагающей, тем фундаментом, без которого дальнейшее продвижение будет невозможно.
Определение частичной суммы ряда и нахождение предела
Далее нужно определиться с понятием частичной суммы ряда. Соответствующая последовательность существует всегда, но надо суметь ее не только увидеть, но и правильно составить. Затем вам потребуется найти предел. Если он существует, то ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся. Это и будет решением ряда.
Геометрические ряды и их решение
Весьма часто на практике встречаются ряды, которые образованы из элементов геометрической прогрессии. Они называются геометрическими рядами. В этом случае, решением послужит один немаловажный факт. При условии, что знаменатель геометрической прогрессии меньше единицы, ряд будет сходящимся. Если он больше либо равен единицы, то расходящимся.
Необходимый признак сходимости рядов
Если же решение найти не удалось, вы можете воспользоваться необходимым признаком сходимости рядов. Он гласит, что если числовой ряд сходится, то предел частичных сумм будет равен нулю. Признак не является достаточным, поэтому в обратном направлении не действует. Но встречаются примеры, в которых предел частичных сумм окажется равным нулю, а значит, решение найдено, то есть сходимость ряда будет обоснована.
Решение ряда с положительными членами
Данная теорема не всегда применима в сложных ситуациях. Может оказаться, что все члены ряда положительные. Для того, чтобы отыскать его решение, вам потребуется найти область значения ряда. А затем, если последовательность частичных сумм будет ограничена сверху, ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся.
Дополнительные свойства рядов
1) Если числовой ряд сходится, то он будет сходиться и в случае, если каждый член последовательности будет умножен на константу (то есть на постоянную).
2) Если два ряда сходятся, то и ряд, полученный при помощи их сложения, также будет сходиться.
Полезные советы при решении рядов
1) Помните, что всякий ряд является последовательностью. Поэтому зачастую удобно при решении переходить к числовой сумме. Если вы найдете решение последовательности, то вам не составит труда отыскать решение ряда.
2) При решении геометрического ряда вам не нужно досконально его исследовать. Всего лишь потребуется найти знаменатель геометрической прогрессии и сравнить его с единицей. Этот факт нужно запомнить.