Главная Войти О сайте

Как решать уравнения с параметрами

При решении задач с параметрами главное – понять условие. Решить уравнение с параметром – значит записать ответ для любого из возможных значений параметра. Ответ должен отражать перебор всей числовой прямой.Как решать уравнения с параметрами

Простейший тип задач с параметрами – задачи на квадратный трехчлен A·x²+B·x+C. Параметрической величиной может стать любой из коэффициентов уравнения: A, B или C. Найти корни квадратного трехчлена для всякого из значений параметра – значит решить квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0, перебрав каждое из возможных значений нефиксированной величины.

В принципе, если в уравнении A·x²+B·x+C=0 является параметром старший коэффициент A, то оно будет квадратным лишь тогда, когда A≠0. При A=0 оно вырождается в линейное уравнение B·x+C=0, имеющее один корень: x=-C/B. Поэтому проверка условия A≠0, A=0 должна идти первым пунктом.

Квадратное уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте D=B²-4·A·C. При D>0 оно имеет два различных корня, при D=0 только один. Наконец, если D

Часто для решения задач с параметрами применяется теорема Виета. Если квадратное уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2, то для них верна система: x1+x2=-B/A, x1·x2=C/A. Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, называется приведенным: x²+M·x+N=0. Для него теорема Виета имеет упрощенный вид: x1+x2=-M, x1·x2=N. Стоит отметить, что теорема Виета верна при наличии как одного, так и двух корней.

Те же корни, найденные с помощью теоремы Виета, можно подставить обратно в запись уравнения: x²-(x1+x2)·x+x1·x2=0. Не путайте: здесь x - переменная, x1 и x2 - конкретные числа.

Часто помогает при решении метод разложения на множители. Пусть уравнение A·x²+B·x+C=0 имеет корни x1 и x2. Тогда верно тождество A·x²+B·x+C=A·(x-x1)·(x-x2). Если корень единственный, то можно просто сказать, что x1=x2, и тогда A·x²+B·x+C=A·(x-x1)².

Пример. Найдите все числа p и q, при которых корни уравнения x²+p·+q=0 равны p и q.Решение. Пусть p и q удовлетворяют условию задачи, то есть, являются корнями. Тогда по теореме Виета:p+q=-p,pq=q.

Система эквивалентна совокупности p=0, q=0, или p=1, q=-2. Теперь осталось произвести проверку - убедиться, что полученные числа действительно удовлетворяют условию задачи. Для этого нужно просто подставить числа в исходное уравнение.Ответ: p=0, q=0 или p=1, q=-2.


CompleteRepair.Ru