Как решать задачи по комбинаторике
- Комбинаторика и ее применение
- Перестановки без повторений
- P(n )= 1*2*3*…*n=n!
- Подставив в формулу n = 3, получим P= 3! = 1*2*3 = 6.
- Перестановки с повторениями
- Сочетания без повторений
- C = n!/m!(n - m)!
- Сочетания с повторениями
- C = (n + m – 1)!/m!(n-1)!
- Размещения без повторений
- A = n!/(n – m)!
- Размещения с повторениями
- A = n^m
Комбинаторика и ее применение
Решение задач на нахождение различных комбинаций представляет неподдельный интерес, а комбинаторика применяется во многих областях науки, например, в биологии для расшифровки кода ДНК или на спортивных соревнованиях для расчета количества игр между участниками.
Перестановки без повторений
Перестановки без повторений – это такие комбинации из n-го количества различных элементов, в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами.
P(n )= 1*2*3*…*n=n!
Например, сколько перестановок можно составить из цифр 5, 8, 9? Из условия задачи n = 3 (три цифры 5, 8, 9). Воспользуемся формулой для расчета возможного количества перестановок без повторений: P(n )= n!
Подставив в формулу n = 3, получим P= 3! = 1*2*3 = 6.
Перестановки с повторениями
Перестановки с повторениями – это такие комбинации из n-го количества элементов (в том числе и повторяющихся), в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами.
Pn = n!/n1!* n2!*…*nk!, где n – общее количество элементов, n1, n2…nk – количество повторяющихся элементов.
Сочетания без повторений
Сочетания без повторений – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m ≤ n), которые отличаются друг от друга только составом элементов (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом).
C = n!/m!(n - m)!
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m каждой группе (m – любое), причем допускается повторение одного элемента несколько раз (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом).
C = (n + m – 1)!/m!(n-1)!
Размещения без повторений
Размещения без повторений – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m ≤ n), которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком.
A = n!/(n – m)!
Размещения с повторениями
Размещения с повторениями – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m каждой группе (m – любое), которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком, в которых также допускается повторение элементов.
A = n^m
Используя эти формулы комбинаторики, можно решать различные задачи, связанные с нахождением комбинаций и перестановок элементов.