Как решить неравенство с модулем

Содержание:

1. Решение неравенств с модулем
2. Метод составления системы равносильных неравенств
3. Пример решения неравенства
4. Альтернативный метод решения

Решение неравенств с модулем

Неравенства решаются примерно таким же способом, что и обычные уравнения. Однако неравенства с модулем имеют некоторые особенности, которые требуют специального подхода. Беспроигрышным способом решения является переход от неравенства с модулем к равносильной ему системе неравенств.

Метод составления системы равносильных неравенств

Для понимания работы метода составления системы равносильных неравенств достаточно представить себе график функции f(x)=|x|. График модуля представляет собой "галку". Если взять любое положительное число a и отметить его на оси ординат (Y), то можно увидеть, что все значения функции, которые меньше a, лежат ниже этого числа, а значения, которые больше a, лежат выше.

Очевидно, что значения функции равны числу a тогда, когда x принимает значения a и -a. Таким образом, простейшее неравенство |x| < a разрешимо при -a < x < a. Аналогично, при |x| > a аргумент лежит в пределах x > a и x < -a. В случае нестрогих неравенств для модуля получаем аналогичные нестрогие неравенства для аргумента: |x| < a равносильно -a < x < a, а |x| > a равносильно x < -a, x > a.

Пример решения неравенства

Давайте рассмотрим неравенство |2x + 1| < 5 и составим для него равносильную систему неравенств:

• 2x + 1 < 5
• 2x + 1 > -5

Из первого неравенства получаем 2x < 4, откуда следует x < 2. Из второго неравенства получаем 2x > -6, откуда следует x > -3. Таким образом, решение неравенства достигается при x [-3;2].

Альтернативный метод решения

Существует и другой метод решения неравенств с модулем. Он заключается в нахождении нулей подмодульного выражения, разбиении координатной прямой на промежутки с помощью этих нулей, раскрытии модуля на каждом отрезке и решении полученных неравенств.