Главная Войти О сайте

Как выделить квадрат двучлена

Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.Как выделить квадрат двучлена

Метод выделения полного квадрата двучлена основан на использовании двух формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для второй степени и позволяют упростить искомое выражение так, чтобы можно было провести последующее сокращение или разложение на множители:
(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;
(m - n)² = m² - 2·m·n + n².

Согласно этому методу из исходного многочлена требуется выделить квадраты двух одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Применение этого метода имеет смысл, если старшая степень слагаемых не меньше 2. Предположим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:
4·y^4 + z^4

Для решения задачи нужно воспользоваться методом выделения полного квадрата. Итак, выражение состоит из двух одночленов с переменными четной степени. Следовательно, можно обозначить каждый из них через m и n:
m = 2·y²; n = z².

Теперь нужно привести исходное выражение к виду (m + n)². В нем уже присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Нужно добавить его искусственно, а потом вычесть:
(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² - 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

В получившемся выражении можно увидеть формулу разности квадратов:
(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

Итак, метод состоит из двух этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Метод выделения полного квадрата двучлена может применяться не только самостоятельно, но и в комбинации с другими методами: вынесения за скобки общего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

Пример 2.
Выделите полный квадрат в выражении:
4·y² + 2·y·z + z².
Решение.
4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

Метод применяется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y² + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ≠ 0.
a·y² + b·y + c = a·(y² + (b/a)·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y + b²/(4·a²)) + c – b²/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ² – (b² – 4·a·c)/(4·a).

Эти расчеты приводят к понятию дискриминанта, который равен (b² – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:
y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± √ ((b² – 4·a·c)/(4·a)).


CompleteRepair.Ru