Главная Войти О сайте

Как считать пределы

Как считать пределы

Содержание:
  1. Пределы функций и последовательностей в математическом анализе
  2. Пределы последовательностей и функций
  3. Свойства пределов
  4. Правило Лопиталя
  5. Пример задачи на нахождение предела по правилу Лопиталя

Пределы функций и последовательностей в математическом анализе

В учебниках по математическому анализу значительное внимание уделяется приемам вычисления пределов функций и последовательностей. Существуют готовые правила и методы, применяя которые, можно с легкостью решать даже относительно сложные задачи на пределы.

Пределы последовательностей и функций

В математическом анализе существуют понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:x1, x2, x3...,xm,...,xn... .Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие.

Свойства пределов

У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
- Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x+lim y
- Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x*lim y
- Предел частного равен частному от пределов: lim(x/y)=lim x/lim y
- Постоянный множитель выносят за знак предела: lim(Cx)=C lim x

Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞. Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество: lim sin x/x=1x→0

Правило Лопиталя

В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей: неопределенность вида 0/0 и неопределенность вида ∞/∞.

Пример задачи на нахождение предела по правилу Лопиталя

Дано следующее выражение: lim(1-cosx)/x^2 x →0. Поскольку cosx=1, возникает неопределенность типа 0/0. Первая производная функции равна: {(1-cosx)/x^2}'=sinx/2x. lim sinx/2x=0/0 x →0. Из последнего выражения видно, что неопределенность возникла вновь, поэтому необходимо взять вторую производную этой функции: {(sinx)/2x}'=cosx/2. Теперь предел равен: lim cosx/2=1/2x→0. Ответ: lim(1-cosx)/x^2=1/2x→0.


CompleteRepair.Ru