Главная Войти О сайте

Как составить уравнения сторон треугольника

Есть множество способов определить треугольник. В аналитической геометрии один из этих способов — задать координаты трех его вершин. Эти три точки определяют треугольник однозначно, но для полноты картины нужно еще составить уравнения сторон, соединяющих вершины.Как составить уравнения сторон треугольника

Вам заданы координаты трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника. Задача состоит в том, чтобы составить уравнения его сторон — точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые коэффициенты k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.

Убедитесь, что все точки различны между собой. Если какие-то две совпадают, то треугольник вырождается в отрезок.

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут равны друг другу.

Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, следовательно, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Подставляя найденное выражение в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Проверьте, не лежит ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте значения (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.

Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).

Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, выглядит так:(1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).


CompleteRepair.Ru