Главная Войти О сайте

Как вычислить число пи

Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число, первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.Как вычислить число пи

π — иррациональное число. Это значит, что его невозможно представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем. Более того, π — трансцендентное число, то есть оно не может служить решением никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.

Древнейшие приближения, которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.

Архимед и другие математики вычисляли π с помощью сложной и трудоемкой геометрической процедуры — измерения периметров вписанных и описанных многоугольников. Полученное ими значение было равно 3,1419.

Еще одна приближенная формула определяет, что π = √2 + √3. Она дает значение для π, примерно равное 3,146.

С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент — степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что бесконечный ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится к сумме, равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.

Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.

Для большинства практических расчетов вполне достаточно знать число π с точностью до семи знаков после запятой: 3,1415926. Его можно легко запомнить при помощи мнемонической фразы: «Три — четырнадцать — пятнадцать — девяносто два и шесть».


CompleteRepair.Ru